(FUVEST 2024) Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12. Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda = mediana = média = amplitude = 23.

(FUVEST 2024) Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12. 

Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda = mediana = média = amplitude = 23.

(A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 22 (E) 44

---

Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.

Uma questão muito interessante de Estatística da FUVEST.  Sejam os 5 números: a1, a2, a3, a4 e a5 em ordem crescente, como a mediana vale 23, e temos uma quantidade ímpar de elementos, então vamos fixar o 23 na terceira posição.

a1, a2, 23, a4, a5

Como a média vale 23, então o somatório desses 5 números tem que valer  5 x 23.

Sabemos que a média é calculada pela soma S dos 5 números, dividida por 5.

S/5 = 23

S = 5 x 23 = 115

Guardamos a informação de que a soma dos 5 números é igual a 5 x 23 que vale 115.  Nessa resolução, em alguns casos, vamos usar o 5 x 23 ao invés do 115 para agilizar os cálculos.

A amplitude vale 23, isto quer dizer que

 

a5 - a1 = 23

a5 = 23 + a1

A moda também vale 23.  Agora, vamos pensar em quais números podem valer 23, além, é claro, da mediana que já está fixa na terceira posição.

Esses números são inteiros positivos, ou seja, pertencem ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..... }

Já podemos observar que a5 não pode valer 23, isto porque a1 teria que valer 0.

Além disso, a1 não pode valer 23, pois a2 também seria 23, a5 teria que valer 46 e a4 um valor que vai de 23 até 46, fato este que iria superar o limite para a soma desses 5 números que é de 115.

É notório que a1 e a5 são diferentes de 23.  Será que a2 e a4 juntos podem valer 23?  Ou seja, será que a construção a seguir é possível?

a1, 23, 23, 23, 23 + a1

Vamos somar 

4 x 23 + 2a1 = 5 x 23

2a1 = 23

a1 = 23/2 = 11,5   ("a1 não pode ser fracionário")

Não podemos ter a2 = a3 = a4 = 23, pois isso obrigaria a1 a ser um número fracionário.  Logo, os três elementos intermediários são a2, 23, 23 ou também 23, 23, a4.  Existem dois casos de listas possíveis, vamos chamá-las de L1 e L2, respectivamente, lista 1 e lista 2.

L1) a1, 23, 23, a4, 23 + a1

L2) a1, a2, 23, 23, 23 + a1

Note que nas duas listas, os valores para a2 e a4, em termos de a1, serão iguais.  Ambos valem 46 - 2a1.  Vamos verificar isso no quadro a seguir:

O valor de a4 na lista 1, em termos de a1, pode ser encontrado somando os 5 termos e igualando a 5 x 23.

a1 + 23 + 23 + a4 + 23 + a1 = 5 x 23

2a1 + a4 + 3 x 23 = 5 x 23

a4 = 46 - 2a1

O valor de a2 na lista 2, em termos de a1, pode ser encontrado pelo mesmo raciocínio anterior e nos leva também ao mesmo valor

a2 = 46 - 2a1

Isto quer dizer que os dois formatos de listas possíveis são:

L1) a1, 23, 23, 46 - 2a1, 23 + a1

L2) a1, 46 - 2a1, 23, 23, 23 + a1

Analisando as duas listas, podemos notar que o valor de 46 - 2a1 precisa estar no intervalo que vai desde a1 até a5.

a1 ≤ 46-2a1 ≤ 23 + a1

46 - 2a1 ≥ a1

-3a1 ≥ -46

3a1 ≤ 46

a1 ≤ 15,333...

23 + a1 ≥ 46 - 2a1

3a1 ≥ 23

a1 ≥ 23/3

a1 ≥ 7,666...

Com esses critérios, a1 só poderá assumir os oito valores a seguir: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15.  Com eles, é possível formar 8 listas que satisfazem as condições do enunciado.

Alternativa correta é a letra a).

Para responder essa questão, não foi necessário escrever cada uma dessas 8 listas.  É uma boa prática para fazer uma prova real, mas pode impactar o tempo de prova, e vai depender dessa quantidade de tempo disponível.  Vamos fazer isso agora a título de exercício. 

Para escrever a primeira lista, basta atribuir a1 = 8, e com isso teremos:

(46 - 2a1) = 46 - 2 x 8 = 46 - 16 = 30

a5 = 23 + 8 = 31

A primeira lista é {8, 23, 23, 30, 31}.    Para construir as listas seguintes, você pode criar uma tabela, com os valores de a1 indo de 8 até 15.  Conforme a1 vai aumentando 1 unidade, o a5 também vai aumentando 1 unidade, enquanto que o (46 - 2a1) vai diminuindo 2 unidades.

As oito listas são:

a1	a2	a3	a4	a5
8	23	23	30	31
9	23	23	28	32
10	23	23	26	33
11	23	23	24	34
12	22	23	23	35
13	20	23	23	36
14	18	23	23	37
15	16	23	23	38

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.