(FUVEST 2024) Um relógio digital utiliza os seguintes numerais para representar um determinado horário:

Esse relógio está colocado sobre uma mesa de vidro, de forma que o vidro reflete o horário em sua superfície. A figura mostra um exemplo dessa situação:

De 00:00 até as 23:59, quantas vezes o vidro refletirá um horário válido? 

(A) 96 (B) 360 (C) 540 (D) 640 (E) 960

Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.

Uma questão muito interessante de análise combinatória, abordando também geometria.  Para obter o reflexo de cada numeral que esse relógio digital utiliza para representar um determinado horário, você pode fazer o seguinte:  escrever uma linha horizontal abaixo desses números, ela vai funcionar como um espelho.  Depois, rebater os números na parte de baixo dessa linha.   


Com esse esboço, podemos notar que os números 1,3,8 e 0, quando refletidos, terão representação idêntica à original.  Já os números 4 e 7 vão representar símbolos "estranhos", que não fazem parte da lista de números válidos definida no enunciado.   Atenção, pois o mesmo vai acontecer com os números 6 e 9.   Podemos notar que o reflexo do 6 não representa o 9, assim como o reflexo do 9 não representa o 6.  Perceba atentamente que ambos vão refletir símbolos que não fazem parte da lista inicial.

Já os números 2 e 5, quando refletidos, vão representar, respectivamente, os números 5 e 2 da lista, que são números válidos.  No exemplo do enunciado, o horário de 18:02 produz 18:05 no vidro, horário este que é válido e vai entrar na contagem, pois o que nos interessa é contar quantas vezes "o vidro vai refletir um horário válido, de 00:00 até as 23:59". 

Olhando somente para o horário que foi refletido pelo vidro, 18:05, este horário é válido?  Sim, 18:05 é um horário válido, pois é um horário que utiliza os numerais da lista e está limitado entre 00:00 e 23:59 que são limites convencionais para horas. No formato HH:MM os limites são HH assumindo valores de 00 até 23 e MM de 00 até 59.

E se alguma vez o vidro refletir 55:55, será um horário válido?  Este horário não é válido.  Detalhe, o vidro vai refletir este horário quando o relógio registrar 22:22.   Precisamos estar atentos a isso na contagem.

Um outro caso, e se o vidro refletir 1L:4B?  Será um horário válido?  Esse também não será um horário válido, pois não está utilizando os números da lista do enunciado.

Curiosidade: a questão poderia ter perguntado, por exemplo, quantas vezes o horário refletido é idêntico ao horário do relógio?  E neste caso, a contagem teria um resultado diferente daquela que vamos encontrar a seguir. 

Vamos manter o foco no objetivo do enunciado, que é calcular a quantidade de vezes que o vidro refletirá um horário válido, de 00:00 até as 23:59.  Para isso, vamos trabalhar com os números 0,1,2,3,5 e 8 e eliminar os números 4,6,7,9.

O relógio possui quatro dígitos, vamos verificar quantas possibilidades de números existem para cada dígito.

Primeiro dígito)  O primeiro dígito do relógio só pode assumir os números 0,1 ou 2.

Quando o primeiro dígito do relógio for 0 ou 1, o número refletido pelo vidro será, respectivamente, 0 ou 1, tudo bem.  Entretanto, quando o relógio tiver um 2 no primeiro dígito, por exemplo, no horário de 20:00 no relógio, o vidro irá refletir 50:00, e este horário refletido pelo vidro é inválido.  

Além disso, nunca teremos um 2 no primeiro dígito do horário refletido, pois isso só seria possível se o 5 aparecesse no primeiro dígito do relógio.  Sabemos que, funcionando corretamente, o relógio não vai imprimir em sua tela os horários 50:00 ou 51:00, por exemplo.

Logo, para nossa contagem, o primeiro dígito do horário refletido pelo vidro só vai assumir os valores 0 ou 1.  

Guardamos a informação de que o primeiro dígito do horário refletido só tem dois valores possíveis que podem formar horários válidos.

Segundo dígito)  O segundo dígito do relógio pode ser ocupado por todos os numerais de 0 até 9, exceto quando o primeiro dígito for o 2, daí, só vão existir as horas 20:xx , 21:xx, 22:xx, 23:xx.  Ou seja, quando o primeiro dígito é igual a 2, então o segundo dígito só poderá ter os valores {0,1,2,3}.  Mas nós já sabemos que os horários refletidos pelo vidro não irão começar pelo número 2.  Os horários válidos refletidos pelo vidro só vão começar por 0 ou 1.  Logo, o segundo dígito do horário refletido será qualquer numeral da lista {0,1,2,3,5,8} que são seis possibilidades. 

Obs: a troca de 5 por 2 e de 2 por 5 vai alterar a contagem neste segundo dígito?  Não, vamos verificar isso com dois exemplos:

Relógio:  02:00
Vidro:  05:00

Será compensado por

Relógio:  05:00
Vidro: 02:00

Essa troca entre esses números não vai aumentar nem diminuir a contagem nesse segundo dígito.

Guardamos a informação de que o segundo dígito do horário refletido tem seis valores possíveis que podem formar horários válidos.

Terceiro dígito)  neste relógio, o terceiro dígito pode assumir os valores {0,1,2,3,4,5}, removendo o 4 dessa lista, todos vão refletir números válidos e a troca de 2 por 5 e vice-versa não vai prejudicar a contagem.  Logo, o terceiro dígito do horário refletido irá conter os números {0,1,2,3,5} que são cinco possibilidades para formar horários válidos.

Quarto dígito)  neste relógio, o quarto dígito pode assumir qualquer número de 0 até 9, isto quer dizer que o quarto dígito do horário refletido poderá assumir qualquer um dos seis números {0,1,2,3,5,8} para formar horários válidos, novamente, a troca de 2 por 5 e vice-versa não vai prejudicar a contagem.

Aplicando o princípio fundamental da contagem, vamos multiplicar as possibilidades encontradas para cada um dos quatro dígitos do horário refletido:

2 x 6 x 5 x 6 = 360

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.