(ENEM 2023 Reaplicação/PPL) Após uma reforma, um clube decide comprar duchas para serem instaladas no vestiário. O tipo de ducha escolhida, segundo o fabricante, tem probabilidade igual a 1/10 de apresentar funcionamento irregular. O administrador do clube planeja adquirir uma certa quantidade dessas duchas, de forma que a probabilidade de que pelo menos uma das duchas adquiridas apresente funcionamento regular seja igual a, no mínimo, 99/100.

A quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é 

A) 2. B) 8. C) 9. D) 10. E) 11. 

Solução: questão de matemática do ENEM 2023 - Reaplicação/PPL,  prova aplicada no dia 13/12/2023.

Uma questão interessante de probabilidade binomial.  Sabemos que a probabilidade de pelo menos uma das duchas funcionar P(X≥1) mais a probabilidade de nenhuma das duchas funcionar P(X=0) é igual a 100%, pois são complementares.  Vamos equacionar isso:

P(X=0) + P(X≥1) = 1

Agora, vamos isolar P(X≥1)

P(X≥1) = 1 - P(X=0)

Nosso objetivo é encontrar P(X≥1), vamos fazer isso de um modo mais prático calculando P(X=0).

Vamos definir que o administrador vai comprar n duchas.  A probabilidade de nenhuma das n duchas adquiridas funcionarem, denotada por P(X=0), é igual a

P(X=0) = (1/10) x (1/10) x .... x (1/10)
                          n vezes

P(X=0) = (1/10)n

Curiosidade:  vamos encontrar o mesmo resultado acima, por meio da aplicação da fórmula da probabilidade binomial:

P (X = k) = C n,k . (p)k . (q)n-k

Cujos elementos são:

P (X = k) é a probabilidade de obter exatamente k sucessos
C n,k = n! / [ k!(n-k)! ]
n = número de tentativas
k = número de tentativas com sucesso
p = probabilidade de sucesso em uma única tentativa
q = probabilidade de falha em uma única tentativa
p + q = 1 

Neste problema, 

q = 1/10 , p = 9/10 , k = 0, vamos aplicá-los na fórmula

P(X=0) = C n,0 . (9/10)0 . (1/10)n-0
P(X=0) = 1 . 1. (1/10)n
P(X=0) = (1/10)n


Continuando

P(X≥1) = 1 - P(X=0)
P(X≥1) = 1 - (1/10)n


O administrador tem o objetivo de que 

P(X≥1) ≥ 99/100
1 - (1/10)n ≥ 99/100
Neste ponto, já podemos notar que a resposta é n = 2, mesmo assim, a título de exercício, vamos resolver essa inequação exponencial.
- (1/10)n ≥ (99/100) - 1
- (1/10)n ≥ (99/100) - (100/100)
- (1/10)n ≥ - (1/100)
Vamos multiplicar os dois lados por -1 e trocar o sinal de desigualdade.
(1/10)n ≤ (1/100)
(1/10)n ≤ (1/10²)
(1/10)n ≤ (1/10)²
A base (1/10) está entre 0 e 1, logo vamos comparar os expoentes trocando o sinal de desiguldade de ≤ pelo sinal de ≥.
n ≥ 2

Podemos concluir que a quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é igual a  2 .

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.