(ENEM 2023 Reaplicação/PPL) Uma costureira tem à sua disposição pelo menos
duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos
retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.
Para confeccionar um tapete em formato retangular
de 10 cm x 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição
indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do
outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo
de tapete que pretende confeccionar deverá conter um
único retalho de 10 cm x 20 cm e mais três retalhos de
formato 10 cm x 10 cm, sendo que retalhos de mesma
estampa não poderão ficar lado a lado.
Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser
confeccionados?
A) 12
B) 24
C) 34
D) 48
E) 60
Solução: questão de matemática do ENEM 2023 - Reaplicação/PPL, prova aplicada no dia 13/12/2023.
Uma questão interessante de análise combinatória do ENEM. Para resolver essa questão, vamos ilustrar o tapete em formato retangular de 10 cm x 50 cm dividido em 5 quadrados de 10 cm x 10 cm conforme o esboço a seguir:
De acordo com o enunciado, para confeccionar esse tapete, só será utilizado um retalho de estampa preta de 10 x 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm x 10 cm. Isto quer dizer que só existem 4 posições possíveis para o retalho preto, ocupando os seguintes quadrados:
1º e 2º
2º e 3º
3º e 4º
4º e 5º
O que vamos fazer é o seguinte: para cada um desses 4 tipos, contar a quantidade de modelos diferentes de tapetes que poderão ser confeccionados. No final, vamos somar essas quantidades.
Tipo 1
Os números acima indicam as possibilidades de estampas diferentes em cada quadrado. Uma vez que o retalho de estampa preta está ocupando o 1º e 2º quadrado, então o terceiro quadrado poderá ser ocupado por 3 estampas diferentes.
Não podemos nos esquecer que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado. Logo, no quarto quadrado, existem 2 possibilidades. Do mesmo modo, no quinto quadrado, também são 2 possibilidades.
Um outro detalhe, a costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos. Note que na construção acima, como estamos eliminando a possibilidade de aparecerem estampas iguais lado a lado, então não há casos onde a mesma estampa foi utilizada três vezes. No máximo, uma estampa está aparecendo duas vezes, o que satisfaz as quantidades que a costureira tem disponíveis.
Pelo princípio fundamental da contagem, basta multiplicar (3 x 2 x 2) = 12 modelos diferentes de tapetes do tipo 1.
Tipo 2
Com o retalho preto ocupando o 2º e 3º quadrado, então podemos colocar no primeiro quadrado 3 estampas diferentes e a mesma quantidade no quarto quadrado. Já no quinto, como retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado, então só temos 2 possibilidades.
Novamente, não haverá casos onde a mesma estampa vai aparecer 3 vezes.
Pelo princípio fundamental da contagem, basta multiplicar (3 x 3 x 2) = 18 modelos diferentes de tapetes do tipo 2.
Nos próximos casos, vamos perceber uma semelhança entre os tipos 3 e 2, assim como entre os tipos 1 e 4.
Tipo 3
3 x 2 x 3 = 18
Tipo 4
3 x 2 x 2 = 12
Finalmente, para encontrarmos quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados, basta somarmos as quantidades encontradas nos quatro tipos:
12 + 18 + 18 + 12 = 60
Alternativa correta é a letra e).
