(EEAR CFS 2/2024) Considere a função f: ℝ→ℝ tal que f(x) = x² – 6x + c. Então, o menor valor inteiro de c para que a função f assuma valores positivos para todo x real é c = ______ . 

a) −20
b) −10
c) 10
d) 5

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024.  Prova aplicada em 19/11/2023.

Uma questão interessante sobre funções do segundo grau.  Precisamos encontrar o valor de c de modo que a função f tenha Imagem = {y ∈ ℝ | y > 0}.  O coeficiente a é positivo, logo o gráfico de f tem o formato de uma parábola com concavidade voltada para cima, vamos esboçá-la no plano cartesiano.




Para que a função assuma valores positivos para todo x real, precisamos que o gráfico da função não intercepte o eixo x, ou seja, precisamos que ela não possua raízes reais.

A equação x² – 6x + c = 0, não terá raízes reais quando Δ < 0

b² - 4ac < 0
(-6)² - 4 · 1 · c < 0
36 - 4c < 0
-4c < -36
4c > 36
c > 9

Então, o menor valor inteiro de c para que a função f assuma valores positivos para todo x real é 

c = 10

Alternativa correta é a letra c).

Nessa questão, também é possível encontrar o valor de c resolvendo: Yv > 0

Yv é a ordenada do vértice dessa parábola, a qual possui concavidade voltada para cima, logo, o vértice dessa parábola é o ponto de mínimo dessa função.  Neste caso, se garantirmos que Yv é maior do que zero, então a função f vai assumir valores positivos para todo x real.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.