(UECE 2024.1) Considere os conjuntos M = {1, 2}, P = {3, 4, 5} e Q = {6, 7, 8, 9}. Se X é o conjunto de todos os números escritos com três algarismos, sendo cada algarismo escolhido em um dos conjuntos M, P ou Q , não sendo permitido em nenhum desses números mais de um algarismo de um mesmo conjunto, então, a quantidade de elementos de X é

A) 132.  B) 144.  C) 140.  D) 152. 

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023.

A quantidade de elementos de X é dada por

2 · 3 · 4 · P3
24 · 3!
24 · 6
144

Vamos analisar isso passo a passo: 

Os números do conjunto X são formados por 3 algarismos, um deles é proveniente de M, um de P e um de Q.  Existem 2 algarismos possíveis em M, 3 algarismos possíveis em P e 4 algarismos possíveis em Q.   Além disso, esses algarismos são todos diferentes.

Por exemplo, quando decidimos formar esses números e escolhemos a ordem MPQ, ou seja, um algarismo de M, depois um algarismo de P, depois um algarismo de Q, então, pelo princípio fundamental da contagem, vamos conseguir formar: 

2 · 3 · 4 = 24 números possíveis. 

Além disso, precisamos atentar para o seguinte: são 24 números possíveis na ordem MPQ.  Entretanto, podemos visualizar que existem outras formas de escolha.  Essa quantidade é igual a 6, é uma quantidade pequena e fácil de listar:

MPQ, MQP, PMQ, PQM, QMP, QPM

Essa quantidade é calculada por meio da fórmula das permutações simples:

Pn = n!
Aplicando n = 3
P3 = 3! = 6

Ilustrando:

  • Quando pegamos um algarismo de M, um de P e um de Q, nessa ordem, formamos 24 números.
  • Quando pegamos um algarismo de M, um de Q e um de P, nessa ordem, formamos 24 números.
  • Quando pegamos um algarismo de   P, um de M e um de Q, nessa ordem, formamos 24 números.
  • (.....)

Podemos visualizar que o 24 precisa ser multiplicado por 6.

Finalmente, a quantidade de elementos de X é igual a  

2 · 3 · 4 · P3 
144

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.