(UECE 2024.1) Em um plano, munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções reais de variável real f e g definidas por f(x) = x² - 5x + 6 e g(x) = -x² + 7x - 10 se interceptam nos pontos P e Q. A equação da reta que contém estes pontos é 

A) x - y - 2 = 0.
B) x + y - 2 = 0.
C) x - y + 2 = 0.
D) x + y + 2 = 0.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023.

Para encontrarmos as coordenadas dos pontos P e Q, vamos igualar f(x) = g(x) e resolver a equação do segundo grau.

x² - 5x + 6 = -x² + 7x - 10
x² - 5x + 6 + x² - 7x + 10 = 0
2x² -12x + 16 = 0
x² -6x + 8 = 0

Vamos resolver essa equação do segundo grau utilizando o método de completar quadrados.  

x² - 6x         = -8
x² - 6x + 9 = -8 + 9
(x - 3)² = 1
x - 3 = ± √1
x - 3 = ± 1
x = 3 ± 1

x' = 3 + 1 = 4
x'' = 3  - 1 = 2

Já encontramos as abscissas dos pontos P e Q, no próximo passo, utilizando qualquer uma das funções, podemos encontrar as ordenadas.  Vamos utilizar a f(x).

f(2) = 2² - 5.2 + 6
f(2) = 4 - 10 + 6 
f(2) = 0

f(4) = 4² - 5 . 4 + 6
f(4) = 16 - 20 + 6 
f(4) = 2

Os pontos possuem coordenadas (2,0) e (4,2).  Para obter a equação da reta que passa por estes pontos, vamos utilizar a equação fundamental da reta que passa pelo ponto (xo,yo) e tem coeficiente angular m.

y - yo = m ( x - xo)

Sabemos que a reta passa pelo ponto (2,0) e seu coeficiente angular m vale

m = (y2 - y1) / (x2 -x1)
m = (2 - 0) / (4 - 2)
m = 2/2 = 1

Aplicando estes valores na equação fundamental da reta, temos que

y - 0 = 1 ( x - 2)
y = x - 2
x - y - 2 = 0

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.