(UECE 2024.1) Se o resto da divisão do polinômio P(x), de grau n > 1 e coeficientes reais, por x+1 é igual a 4 e se a soma dos coeficientes das potências xp em P(x) com p um número ímpar for igual a 2016, então, a soma dos coeficientes de xp em P(x) com p um número par é igual a 

A) 2018. B) 2016. C) 2020. D) 2022.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023.

Uma questão muito interessante sobre polinômios, vamos resolvê-la utilizando o Teorema do Resto.

Quando P(x) é dividido por (x+1) e deixa resto igual a 4, pelo Teorema do Resto, temos que

P(-1) = 4

O enunciado da questão deixa nítido para nós que qualquer polinômio de grau n > 1, que deixa resto igual a 4 ao ser dividido por x+1 e também possui "soma dos coeficientes das potências xp em P(x) com p um número ímpar" igual a 2016, terá a "soma dos coeficientes de xp em P(x) com p um número par" igual a um dos quatro números fornecidos nas alternativas de resposta.  Só um deles está correto, então, está claro que seja lá qual for o grau do polinômio P(x), essa soma sempre vai retornar o mesmo número.

Vamos analisar um polinômio de grau 4.  Nele, vamos perceber um fato curioso, que acontece quando aplicamos x = -1 em um polinômio. 

P(x) = a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x1 + e·x0
P(x) = a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e

Agora, vamos calcular P(-1) = 4

P(-1) = a·(-1)4 + b·(-1)3 + c·(-1)2 + d·(-1) + e = 4

Agora, vamos perceber o seguinte:

a·(1) + b·(-1) + c·(1) + d·(-1) + e = 4
a - b + c - d + e = 4

Repare que essa soma contém os

  • coeficientes das potências xp , com p um número par;
  • coeficientes das potências xp , com p um número ímpar, porém estes aparecem multiplicados por -1.

Vamos agrupar esses coeficientes

a + c + e - b - d = 4
(a + c + e) - (b + d) = 4

De acordo com o enunciado, o valor de (b + d) = 2016.  Na equação acima, vamos trocar (b+d) por 2016.

(a + c + e) - (2016) = 4
(a + c + e) = 4 + 2016
(a + c + e) = 2020

Ou seja, a soma dos coeficientes de xp em P(x) com p um número par é igual a 2020.

Alternativa correta é a letra c).

Utilizamos um polinômio qualquer de grau 4, poderia ter sido com um polinômio de grau 2, 3, 5, 6, etc.  Também poderíamos resolver com um polinômio bem simples, escolhendo um de grau 2, veja um exemplo:

P(x) = ax² + 2016x + c 

Nesse polinômio, a soma dos coeficientes das potências xp em P(x) com p um número ímpar é igual a 2016.  Só temos ali o 2016 multiplicando x1.  Repare que os outros coeficientes são a que multiplica x² e c que multiplica x0.  Estamos interessados em saber quanto vale a soma (a+c) que representa a soma dos coeficientes de xp em P(x) com p um número par.

Agora, vamos calcular P(-1) = 4

P(-1) = a(-1)² + 2016 (-1) + c = 4
a -2016 + c = 4
a + c = 4 + 2016
a + c = 2020

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.