(UERJ 2016) Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros no formato de um prisma reto com base quadrada de aresta a e altura h. Visando à redução de custos, a área superficial da embalagem é a menor possível. Nesse caso, o valor de a corresponde, em decímetros, à raiz real da seguinte equação:

4a - 32  = 0
 a²

As medidas da embalagem, em decímetros, são:

(A) a = 1 ; h = 2

(B) a = 1 ; h = 4

(C) a = 2 ; h = 4

(D) a = 2 ; h = 2

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2016 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada em 13/09/2015.

Depois de ler o enunciado, a primeira coisa que vamos querer fazer é resolver a equação para encontrar o valor de a.  Esse é um caminho natural para resolver esse problema.  Entretanto, se analisarmos com calma as alternativas de resposta, vamos ver que podemos utilizar as informações que elas nos fornecem.

Analisando as alternativas de resposta, podemos identificar o seguinte:  o valor de a só pode ser 1 ou 2.  Como é uma quantidade pequena, é fácil testar esses valores na equação e obter rapidamente qual dos dois é a única raiz real da equação.

Aplicando a = 1

4·1 - 32/1² =  0
4 - 32 = 0
-28 = 0   (Falsa, portanto, a raiz real só pode ser o 2)

Mesmo assim, vamos aplicar a = 2 na equação.

4·2 - 32/2² =  0
8 - 32/4 = 0
8 - 8 = 0
0 = 0  ✔

Com esse teste rápido, descobrimos que a tem que valer 2 dm.  Para descobrir h, vamos aplicar a fórmula: 

Volume do prisma reto (Vp) é igual a área da base vezes a altura.

Vp = (área da base) x altura
Vp = a² x h

Sabemos que 1 litro = 1 dm³, e que a = 2dm, logo por meio do cálculo a seguir, vamos obter h também em dm.

Vp = a² x h
8 = 2² x h
h = 8/4
h = 2dm

Portanto, a alternativa correta é a letra d).

Outra curiosidade, somente uma das quatro alternativas de resposta vai resultar em um volume de 8 litros, exatamente a alternativa d), as demais não resultam em volume de 8 litros.

Calculando o volume do prisma por meio dos valores do enunciado, somente os valores da letra d) satisfazem.  São valores pequenos e fáceis de serem encontrados com os cálculos sendo feitos até de cabeça mesmo.

(A) a = 1; h = 2; Vp = 1²·2 = 2 dm³

(B) a = 1; h = 4; Vp = 1²·4 = 4 dm³

(C) a = 2; h = 4; Vp = 2²·4 = 16 dm³

(D) a = 2; h = 2; Vp = 2²·2 = 8 dm³


Usando qualquer uma dessas duas percepções, a questão pode ser resolvida sem a necessidade de resolver a equação dada.  A seguir, como exercício, vamos resolvê-la:

4a -  32  = 0
            a²

A primeira coisa que percebemos é que o valor de a² tem que ser diferente de 0, ou seja, a tem que ser diferente de 0.

4a ·  a²  -  32  = 0
          a²        a²
4a³ - 32 = 0
     a²

4a3 - 32 = 0

a3 - 8 = 0

Obs:  a equação polinomial a3 - 8 = 0 tem grau igual a 3, logo possui 3 raízes complexas, contando multiplicidades.  Sabemos também que 3 é um número ímpar, então pelo menos uma dessas raízes é real.

O que queremos nesse problema é descobrir apenas a raiz real.

a3 - 8 = 0

a3 = 8
a = 3√8
a = 2

Agora, vamos aplicar a = 2 na equação do enunciado para confirmarmos.

4·a - 32/a² =  0
4·2 - 32/2² =  0
8 - 32/4 = 0
8 - 8 = 0
0 = 0   ✔

Detalhe: esse teste já tinha sido feito no início da resolução.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.