(UERJ 2016) Observe a função f, definida por:

f(x) = x² - 2kx + 29, para x ∈ ℝ

Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

a) 5
b) 6
c) 10
d) 15

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2016 (1º Exame de Qualificação), prova aplicada em 14/06/2015.

Esse é um tipo de questão muito comum em provas de vestibulares e concursos públicos, que envolve as coordenadas do vértice da parábola.

Podemos notar que o gráfico de f(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima (formato de U), isto porque seu coeficiente a, que vale 1, é um valor positivo.  Deste modo, f(x) tem um ponto de mínimo no vértice da parábola.  As coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv) podem ser encontradas por meio das fórmulas a seguir:

Xv = -b/2a 
Yv = -Δ/4a  onde  Δ = b² - 4ac

O objetivo do enunciado é que o valor mínimo da função seja igual a 4, ou seja, 

Yv = 4

Cálculo de Δ

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2k)² - 4(1)(29)
Δ = 4k² - 4(29)
Δ = 4(k² - 29)

Cálculo de Yv

Yv = -Δ/4a 
4 = -[4(k² - 29)]/[4(1)]
4 = -(k² - 29)
4 = -k² + 29
k² = 29 - 4
k² = 25
k = ±√25
k = ± 5

O objetivo do enunciado é encontrar o valor positivo do parâmetro k, portanto: k = 5.

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.