imagem ilustrativa de favos de mel


(ENEM 2024) Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área. 

O jardineiro escolherá a forma de

A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/24.

B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (3k²√3)/2.

C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k²/16.

D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/36.

E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/4.

Solução: uma questão muito interessante de matemática (geometria plana) do ENEM 2024,  prova aplicada em 10/11/2024.

Vamos resolver essa questão de duas formas:  no primeiro caso, vamos calcular as três áreas e compará-las.  

Também é possível utilizar um conhecimento que nos permite resolver essa questão de forma mais eficiente, este será o segundo método de resolução apresentado.

Primeiramente, vamos revisar as fórmulas das áreas.

Área do triângulo equilátero de lado L.

AT = L²[(√3)/4]

Área do quadrado de lado L.

AQ = L²

Área do hexágono regular de lado L.

AH = 6 · L²[(√3)/4]

Em todos os casos, o perímetro, que é a soma de todos os lados, é o mesmo e vale k.  Sendo assim, 

No triângulo equilátero, L = k/3;
No quadrado, L = k/4;
No hexágono regular, L = k/6;

Aplicando estes valores nas fórmulas e efetuando os cálculos, chegaremos em

AT = [k²(√3)]/36
AQ = k²/16
AH = [k²(√3)]/24

Inicialmente, podemos visualizar que AH > AT;

Eliminando AT, vamos finalmente comparar AH e AQ.

Para fazer isso, vamos multiplicar AQ por 1,5/1,5.

AQ = (k²/16)(1,5/1,5)
AQ = 1,5k²/24

Assim, é mais fácil notar que AH é maior do que AQ, isto porque √3 é maior do que 1,5.

Finalmente, podemos concluir que o jardineiro escolherá a forma de

A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/24.

Curiosidade: no link a seguir, você poderá encontrar mais informações sobre o "Problema Isoperimétrico".

https://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_isoperim%C3%A9trica

Acesso realizado em 07/12/2024

Quando comparamos polígonos regulares com o mesmo perímetro, então aquele com o maior número de lados tem a maior área.

No link a seguir, você pode fazer uma simulação gráfica com o GeoGebra.  Basta manter um perímetro fixo e depois ir aumentando a quantidade de lados (n).  Você verá que a área aumenta conforme n aumenta.  Além disso, perceba também que conforme n vai aumentando, os polígonos regulares vão se aproximando do formato de um círculo.

https://www.geogebra.org/m/cjmwfcjt

Acesso realizado em 07/12/2024

Segundo método possível de resolução

Com base nas informações acima, não precisamos calcular a área do triângulo equilátero e nem a do quadrado, pois já sabemos que a área do hexágono regular será maior, pois ele tem um número maior de lados.  Assim, basta calcular a área do hexágono regular, que conforme vimos anteriormente, será (k²√3)/24.

Uma outra curiosidade relacionada a esse tema você vai encontrar no artigo: "Como os favos das abelhas viram hexágonos?"

https://www.terra.com.br/noticias/educacao/voce-sabia/como-os-favos-das-abelhas-viram-hexagonos,bcbd06903e5ef310VgnCLD2000000dc6eb0aRCRD.html

Acesso realizado em 07/12/2024

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.