(ENEM 2024) Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

(ENEM 2024) Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento. 

Considere 3 como valor aproximado para π. 

A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é 

A) 54.
B) 60.
C) 66.
D) 68.
E) 72.

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Solução: questão de matemática do ENEM 2024,  prova aplicada em 10/11/2024.

Nosso objetivo é calcular a medida do comprimento dessa correia, em centímetro.  Conforme ilustração a seguir, podemos encontrar essa medida por meio da soma:

S₁ + 15 + S₂ + 15

S₁ + S₂ + 30

Cálculo de S₁

A fórmula do comprimento de um arco é dada por S = α · R   ( onde α é o ângulo central em radianos e R o raio da circunferência).  

Convertendo 150° para radianos usando uma regra de três.

graus		radianos
180	→	π
150	→	x

180x = 150π

x = (150/180) π

x = (5/6) π

Calculando S₁

S₁ = α · R

S₁ = (5/6) π · 4

Adotando π = 3

S₁ = (5/6) 3 · 4

S₁ = (5/2) · 4

S₁ = 5 · 2

S₁ = 10 cm

A seguir, vamos em busca do valor de S₂. Vamos identificar na figura, os ângulos que serão necessários para efetuar essa conta.

Podemos notar que o ângulo x tem que valer 210°, isto porque 

150° + x = 360°

x = 360° - 150°

x = 210°

Além disso, de acordo com o enunciado: "considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias".    Portanto, entre os  quatro raios da figura e a correia temos ângulos de 90°.  Assim, precisamos descobrir quanto vale o ângulo y da figura a seguir.

Podemos descobrir quanto vale y usando a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono. 

S = (n-2)·180°

O número de lados do polígono com arestas vermelhas é igual a 6, portanto, vamos utilizar (n=6).

S = (6-2)·180°

S = 4·180°

S = 720°

Somando os ângulos e igualando a 720°, encontraremos y.

90° + 90° + 90° + 90° + 210° + y = 720°

570° + y = 720°

y = 150°

Descobrimos que y = 150°, então o ângulo central de S₂ mede 210°, isto porque a soma deles é igual a 360°.  Atualizando a figura:

Convertendo 210° para radianos usando uma regra de três.

graus		radianos
180	→	π
210	→	x

180x = 210π

x = (210/180) π

x = (7/6) π

Calculando S₂

S₂ = α · R

S₂ = (7/6) π · 8

Adotando π = 3

S₂ = (7/6) · 3 · 8

S₂ = (7/2) · 8

S₂ = 7 · 4

S₂ = 28 cm

Finalmente, a medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é 

S₁ + S₂ + 30

10 + 28 + 30

38 + 30

68

Alternativa correta é a letra (D).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.