(Banese 2025) Em 2025, um certo campeonato de futebol contará com um total de T times, sendo um deles o campeão do ano anterior. Suponha que exista um esquema de apostas em que são escolhidos apenas dois desses T times, ordenadamente: o campeão e o vice-campeão. Por exemplo, a aposta “time W para campeão e time Y para vice-campeão” é diferente da aposta “time Y para campeão e time W para vice-campeão”. Nessas condições, o número de apostas diferentes, tais que o time campeão do ano anterior não figure, é dado por

(Banese 2025)  Em 2025, um certo campeonato de futebol contará com um total de T times, sendo um deles o campeão do ano anterior. Suponha que exista um esquema de apostas em que são escolhidos apenas dois desses T times, ordenadamente: o campeão e o vice-campeão. Por exemplo, a aposta “time W para campeão e time Y para vice-campeão” é diferente da aposta “time Y para campeão e time W para vice-campeão”.

Nessas condições, o número de apostas diferentes, tais que o time campeão do ano anterior não figure, é dado por

(A) T² - T
(B) T² - 1
(C) (T² - T)/2
(D) T² - 3T + 2
(E) (T² - 3T + 2)/2

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Solução: questão de Matemática (análise combinatória) do Concurso do Banese (Banco do Estado de Sergipe), Cargo Técnico Bancário I, Banca examinadora: Fundação Cesgranrio.  Prova A – Gabarito 1, aplicada em 06/04/2025.

O campeonato terá um total de T times, um deles é o campeão do ano anterior.  Excluindo esse time da contagem, ficamos com T–1 times.  As apostas são feitas escolhendo-se dois times.  Assim, podemos fazer a contagem para este caso, fixando T – 1 times na primeira posição da aposta, ou seja, na posição de campeão.  Após a escolha do campeão, restam  T–1–1 que é igual a T–2 para a segunda posição da aposta.  Nessas condições, o número de apostas diferentes, pelo princípio fundamental da contagem é igual a

T–1 × (T–1)–1

T–1 × T–2

Efetuando esse produto:

(T–1)(T–2)

T² – 2T – T + 2

T² – 3T + 2

Alternativa correta é a letra (D).

É comum esse tipo de questão ser um pouco confusa, pelo fato de não apresentar números.  Vamos resolvê-la mais passo a passo a seguir considerando que T = 4, ou seja, só existem quatro times nesse campeonato.  Vamos nomear esses times, são eles: A, B, C e D.  Além disso, D é o campeão do ano anterior.  Essa escolha tem por objetivo facilitar a ilustração de todas as apostas diferentes.

Vamos excluir D das apostas, assim elas só serão feitas nos outros 3 times (perceba: 3 é igual a 4 menos 1).  Com essa quantidade bem pequena, é fácil visualizar que a quantidade de apostas, pelo princípio fundamental da contagem, será igual a 3 × 2.   Similar ao (T–1)(T–2) calculado inicialmente.

Sabemos que 3 × 2 = 6 e veremos a seguir que é bem tranquilo listar todas essas seis apostas diferentes:

Aposta	Campeão	Vice
1	A	B
2	A	C
3	B	A
4	B	C
5	C	A
6	C	B

Podemos perceber que as apostas 1 e 3 são diferentes, pois conforme o comando do enunciado, a ordem importa.  Na aposta 1, o time A é o campeão e o time B é o vice-campeão, já na aposta 3, B é o campeão e A é o vice-campeão.  Essa mesma observação vale para as apostas 2 e 5 e também 4 e 6.

Com esse exemplo envolvendo números menores, fica mais fácil visualizar essas quantidades e porque o resultado para este problema é igual a (T–1)(T–2).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática de provas anteriores do Banese.

Um forte abraço e bons estudos.