. Prova aplicada em 01/12/2024.
Uma questão interessante sobre polinômios, vamos resolvê-la passo a passo recapitulando conceitos desta disciplina. No final, haverá uma resolução mais direta, com menos comentários.
Analisando o polinômio P(x), podemos notar que o expoente máximo é 5
P(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 6x2
Da disciplina polinômios, sabemos que P(x), que possui grau 5, terá, portanto, 5 raízes complexas contando multiplicidades. Não se esquecer neste ponto que os números reais são também números complexos.
Sabemos também que P(x) pode ser escrito da seguinte forma:
P(x) = an(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)
Sendo
r1 , r2 , r3 , r4 , r5 as raízes de P(x)
an = 1, neste caso, 1 é o coeficiente de x5
Assim, podemos escrever P(x) como sendo
P(x) = an(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)
P(x) = 1(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)
P(x) = (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5) "Equação I"
Em uma breve análise de P(x), podemos notar que 0 é raiz de P(x) e com multiplicidade dois. Vamos verificar isso passo a passo, colocando x2 em evidência.
P(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 6x2
P(x) = x2 (x3 − 2x2 − 5x + 6)
Podemos reescrever x² como sendo (x-0) (x-0)
P(x) = (x-0) (x-0) (x3 − 2x2 − 5x + 6)
Analisando a equação acima junto com a Equação I pode ficar mais claro porque 0 é uma raiz de P(x) com multiplicidade 2.
Agora, vamos nos concentrar em (x3 − 2x2 − 5x + 6)
A soma dos coeficientes desse polinômio vale (1 -2 -5 + 6) = 0
💡 Quando a soma dos coeficientes de um polinômio é igual a zero, então 1 é uma raiz desse polinômio.
Curiosidade, vamos verificar isso neste polinômio:
(13 − 2·12 − 5·1 + 6) = (1-2-5+6) = 0 ✓
Sabendo que 1 é uma raiz de
(x3 − 2x2 − 5x + 6) nós até podemos dividir esse polinômio por (x-1), chegaremos até um polinômio de grau 2, e aí podemos resolver pelos
métodos de resolução de equações do segundo grau, por exemplo, Bhaskara, completar quadrados, soma e produto, etc.
Você pode conferir
nesta questão um exemplo de resolução de uma equação do segundo grau utilizando esses métodos.
Porém, vamos fazer o seguinte, vamos utilizar a seguinte relação de soma e produto para polinômios de grau 3.
Seja p(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d
Sejam r1, r2 e r3 as suas raízes, então
r1+r2+r3 = -b/a
r1·r2 + r1·r3 + r2·r3 = c/a
r1·r2·r3 = -d/a
Nesta resolução, vamos utilizar as equações 1 e 3.
p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6
Não confundir este p(x) com o P(x) do enunciado.
r1+r2+r3 = -(-2)/1 = 2
Sabemos que r1 vale 1, logo, se reduz a
1 + r2+r3 = 2
r2+r3 = 2-1
r2+r3 = 1
r1·r2·r3 = -6/1
1·r2·r3 = -6
r2·r3 = -6
A soma das outras duas raízes vale 1 e o produto vale - 6, essas raízes são -2 e 3.
As raízes de P(x) são: -2, 0 (com multiplicidade 2), 1 e 3.
Curiosidade: podemos escrevê-lo na seguinte forma:
P(x) = (x+2) (x-0) (x-0) (x-1) (x-3)
Se você desenvolver o polinômio acima, chegará até o mesmo polinômio dado no enunciado.
A menor raiz desse polinômio é igual a -2.
A maior raiz desse polinômio é igual a 3.
Pode‐se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém‐se
-2·3 = -6
Alternativa correta é a letra d).
🚀 Resolução prática, com poucos comentários
Colocar x² em evidência em P(x)
P(x) = x2 (x3 − 2x2 − 5x + 6)
O que nos permite notar que uma das raízes de P(x) vale 0 com multiplicidade 2.
Olhando apenas para (x3 − 2x2 − 5x + 6) notamos que a soma dos coeficientes é igual a 0, logo 1 é uma das raízes desse polinômio.
E deste ponto trabalhar nas relações de soma e produto:
r1 + r2 + r3 = 2 e r1·r2·r3 = - 6
Conhecendo r1 = 1, ficamos apenas com
r2 + r3 = 1 e r2·r3 = - 6
O que nos permite descobrir que as raízes de (x3 − 2x2 − 5x + 6) são -2, 1 e 3.
As raízes de P(x) são: -2, 0 (com multiplicidade 2), 1 e 3.
Assim, é possível visualizar que a menor raiz é -2 e a maior é 3.
E o produto vale -2·3 = -6
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.
Um forte abraço e bons estudos.
