(EEAR CFS 2/2025) Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = x^5 − 2x^4 − 5x^3 + 6x^2 é igual a zero, pode‐se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém‐se ________.

(EEAR CFS 2/2025) Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 6x2 é igual a zero, pode‐se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém‐se ________.

a) 0
b) −1
c) −2
d) −6


Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2025.  Prova aplicada em 01/12/2024.

Uma questão interessante sobre polinômios, vamos resolvê-la passo a passo recapitulando conceitos desta disciplina. No final, haverá uma resolução mais direta, com menos comentários.

Analisando o polinômio P(x), podemos notar que o expoente máximo é 5  

P(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 6x2

Da disciplina polinômios, sabemos que P(x), que possui grau 5, terá, portanto, 5 raízes complexas contando multiplicidades.  Não se esquecer neste ponto que os números reais são também números complexos.

Sabemos também que P(x) pode ser escrito da seguinte forma:

P(x) = an(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)

Sendo 

r1 , r2 , r3 , r4 , r5 as raízes de P(x)
an = 1,  neste caso, 1 é o coeficiente de x5 

Assim, podemos escrever P(x) como sendo

P(x) = an(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)
P(x) = 1(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)
P(x) = (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4)(x - r5)   "Equação I"

Em uma breve análise de P(x), podemos notar que 0 é raiz de P(x) e com multiplicidade dois.  Vamos verificar isso passo a passo, colocando x2 em evidência.

P(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 6x2
P(x) = x2 (x3 − 2x2 − 5x + 6)

Podemos reescrever x² como sendo (x-0) (x-0)

P(x) = (x-0) (x-0) (x3 − 2x2 − 5x + 6)

Analisando a equação acima junto com a Equação I pode ficar mais claro porque 0 é uma raiz de P(x) com multiplicidade 2.

Agora, vamos nos concentrar em (x3 − 2x2 − 5x + 6)

A soma dos coeficientes desse polinômio vale (1 -2 -5 + 6) = 0

💡 Quando a soma dos coeficientes de um polinômio é igual a zero, então 1 é uma raiz desse polinômio.

Curiosidade, vamos verificar isso neste polinômio:

(13 − 2·12 − 5·1 + 6) = (1-2-5+6) = 0 ✓

Sabendo que 1 é uma raiz de (x3 − 2x2 − 5x + 6) nós até podemos dividir esse polinômio por (x-1), chegaremos até um polinômio de grau 2, e aí podemos resolver pelos métodos de resolução de equações do segundo grau, por exemplo, Bhaskara, completar quadrados, soma e produto, etc.  

Você pode conferir nesta questão um exemplo de resolução de uma equação do segundo grau utilizando esses métodos.

Porém, vamos fazer o seguinte, vamos utilizar a seguinte relação de soma e produto para polinômios de grau 3.

Seja p(x) =  a·x³ + b·x² + c·x + d 

Sejam r1, r2 e r3 as suas raízes, então 

r1+r2+r3 = -b/a
r1·r2 + r1·r3 + r2·r3 = c/a
r1·r2·r3 = -d/a

Nesta resolução, vamos utilizar as equações 1 e 3.

p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6

Não confundir este p(x) com o P(x) do enunciado.

r1+r2+r3 = -(-2)/1 = 2
Sabemos que r1 vale 1, logo, se reduz a
1 + r2+r3 = 2
r2+r3 = 2-1
r2+r3 = 1


r1·r2·r3 = -6/1
1·r2·r3 = -6
r2·r3 = -6

 A soma das outras duas raízes vale 1 e o produto vale - 6, essas raízes são -2 e 3.  

As raízes de P(x) são: -2, 0 (com multiplicidade 2), 1 e 3.

Curiosidade: podemos escrevê-lo na seguinte forma:

P(x) = (x+2) (x-0) (x-0) (x-1) (x-3)

Se você desenvolver o polinômio acima, chegará até o mesmo polinômio dado no enunciado.

A menor raiz desse polinômio é igual a -2.

A maior raiz desse polinômio é igual a 3.

Pode‐se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém‐se 

-2·3 = -6

Alternativa correta é a letra d).

🚀 Resolução prática, com poucos comentários  

Colocar x² em evidência em P(x)

P(x) = x2 (x3 − 2x2 − 5x + 6)

O que nos permite notar que uma das raízes de P(x) vale 0 com multiplicidade 2.

Olhando apenas para (x3 − 2x2 − 5x + 6) notamos que a soma dos coeficientes é igual a 0, logo 1 é uma das raízes desse polinômio.

E deste ponto trabalhar nas relações de soma e produto:

r1 + r2 + r3 = 2   e r1·r2·r3 = - 6

Conhecendo r1 = 1, ficamos apenas com

r2 + r3 = 1  e  r2·r3 = - 6

O que nos permite descobrir que as raízes de (x3 − 2x2 − 5x + 6) são -2, 1 e 3.

As raízes de P(x) são: -2, 0 (com multiplicidade 2), 1 e 3.

Assim, é possível visualizar que a menor raiz é -2 e a maior é 3. 

E o produto vale -2·3 = -6

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR

Um forte abraço e bons estudos.

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