(ENEM 2025) Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo D = k + tg[p(T + m)].

Questão sobre Transformações de Gráficos de Funções Trigonométricas (Função Tangente).

Confira a seguir o enunciado e a resolução dessa questão de trigonometria do ENEM.

Enunciado da Questão

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo

D = k + tg[p(T + m)],

sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.

A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é

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Fonte: questão de matemática do ENEM 2025 — 2º Dia, Caderno 7 (Azul), Aplicação Regular em 16 de novembro de 2025.

Resolução Comentada

Uma questão interessante do ENEM que nos permite trabalhar o tema transformações no gráfico da função tangente. No parágrafo a seguir, podemos ver como encontrar a alternativa correta de forma rápida eliminando alternativas.  Depois desse parágrafo, vamos resolver passo a passo essa questão.

Pela análise do gráfico, é possível notar que o período desta função tangente vale 2π, pois é igual a (5 + 2π)/2 – (5 – 2π)/2. O que já nos permite eliminar as alternativas (A), (B) e (C), pois elas apresentam ρ > 1. Sabemos que quando |ρ| < 1 o período > π, logo essas três primeiras alternativas serão eliminadas.  Assim, só nos restam as alternativas (D) e (E).  Temos que eliminar a (D), pois, dentre outros motivos, ao aplicar T = 2,5 em sua expressão algébrica, o valor correspondente para a distância D não será 30. Finalmente, só nos restaria a letra (E).

A seguir, vamos obter a expressão algébrica para D. Vamos iniciar descobrindo o período dessa função tangente. Para fazer isso, vamos encontrar a distância entre duas assíntotas verticais consecutivas calculando (5 + 2π)/2 menos (5 – 2π)/2 e o resultado será o período (que é um valor real positivo).

➡️ (5 + 2π)/2 = (5/2) + (2π/2) = 2,5 + π

➡️ (5 – 2π)/2 = (5/2) – (2π/2) = 2,5 – π // Vamos trabalhar com as assíntotas desta forma.

Período = 2,5 + π – (2,5 – π) = 2,5 + π – 2,5 + π = 2π

Com ele, vamos obter o parâmetro ρ por meio da seguinte relação:

Período = π / |ρ|

2π = π / |ρ|

|ρ| = π/2π

|ρ| = 1/2

ρ = 1/2 ou ρ = –1/2

Existe um parâmetro igual a 1 multiplicando a tangente, para reforçar: D = k + 1·tg[p(T + m)]

Quando esse parâmetro é positivo e ρ também é positivo, então a função será crescente, exatamente como está o gráfico do enunciado, portanto ρ = 1/2.

Na função y = a + b·tg(c(x + d)), em cada período delimitado por duas assíntotas verticais consecutivas, o gráfico é crescente quando 'b' e 'c' têm o mesmo sinal, e é decrescente quando têm sinais opostos.

Um exercício que permite visualizar isso passo a passo é elaborar os gráficos de y = tg(x) , y = tg(–x), y = –tg(x) e y = –tg(–x).  Os dois primeiros são apresentados a seguir, pois são estes que possuem um "número 1" multiplicando a tangente.

Gráfico de y = tg (x)

Gráfico de y = tg (–x)

Uma dica importante: pratique esse tema com uma ferramenta gráfica interativa como aquelas que são fornecidas no Desmos, GeoGebra, WolframAlpha, dentre muitos outros.  Muitas delas são gratuitas, por exemplo, os gráficos acima foram feitos no Desmos, que você pode acessar diretamente pelo navegador. Com essas ferramentas, você faz um estudo bem dinâmico, altera esses parâmetros da função tangente e observa o efeito no gráfico imediatamente. Aproveite para fazer também esse estudo com as funções seno e cosseno.

Na sequência, dadas as assíntotas verticais consecutivas x = 2,5 – π e x = 2,5 + π, ao calcular a média aritmética entre 2,5 – π e 2,5 + π encontraremos 2,5.  Assim, a reta x = 2,5 é equidistante dessas assíntotas. No cruzamento dessa reta x = 2,5 com o gráfico está o ponto de inflexão da tangente.  A seguir, temos o cálculo dessa média passo a passo:  

2,5 – π + 2,5 + π

2

5/2 = 2,5

O gráfico do enunciado tem o ponto (2,5; 30) que é o ponto de inflexão desta função tangente (dentro deste período), este ponto é equidistante das assíntotas. No gráfico de y = tg(x) apresentado anteriormente, o ponto de inflexão está na origem (0,0). Podemos observar que ele foi deslocado verticalmente 30 unidades para cima (portanto, k = 30) e também 2,5 unidades para a direita (portanto, m = –2,5).  Finalmente, os parâmetros são:

k = 30
ρ = 1/2
m = –2,5

A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é

D = 30 + tg[0,5(T – 2,5)]

Resposta Correta

Alternativa (E)

Nesta expressão, vamos aplicar alguns valores para T: começando com T = 2,5.

D = 30 + tg[0,5(2,5 – 2,5)]

D = 30 + tg[0,5(0)]

D = 30 + tg(0) = 30 + 0 = 30✅ 

Agora, vamos aplicar um valor para T que seja igual ao de uma dessas assíntotas, por exemplo, vamos aplicar T = 2,5 + π.

D = 30 + tg[0,5(2,5 + π – 2,5)]

D = 30 + tg[0,5(π)]

D = 30 + tg(π/2)   // Tangente de π/2 não é definida. Isso indica que, para o T aplicado, a função apresenta uma assíntota vertical, conforme já era esperado.

Exercício prático sobre transformação do gráfico da função tangente usando essa questão do ENEM 2025

Um exercício que você pode fazer agora é utilizar uma ferramenta gráfica para visualizar:

y = tan(x) // No Desmos, você usa o 'tan' ao invés de 'tg'. Aqui o período é π.

Depois, y = tan(0.5x) // Aqui o período é 2π.

Depois, y = tan(0.5x) + 30 // Aqui o período continua sendo 2π e ela "sobe" 30 unidades.

Finalmente, y = tan(0.5(x-2.5)) + 30 // Desloca 2.5 unidades para a direita, mantém o período 2π, e estará igual ao gráfico do enunciado.

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Um forte abraço e bons estudos.