Questão de probabilidade com três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, utilizados em um jogo entre Artur e João.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
(A) Artur, com probabilidade de 2/3;
(B) João, com probabilidade de 4/9;
(C) Artur, com probabilidade de 91/216;
(D) João, com probabilidade de 91/216;
(E) Artur, com probabilidade de 125/216;
Resolução Comentada
Uma questão bem interessante de probabilidade do ENEM que pode ser resolvida de várias formas. Em primeiro lugar, vamos analisar e eliminar alternativas, depois, vamos encontrar essas probabilidades passo a passo usando uma matriz.
Inicialmente, temos que eliminar as alternativas (B), (C) e (D), pois indicam vencedores com probabilidade de vitória com menos de 50% (onde se espera um valor maior que 50%). Logo, Artur tem a maior probabilidade de vitória e só nos resta saber se ela é 2/3 ou 125/216. 💡Multiplicando 2/3 por 72/72 o resultado será (2×72)/(3×72) = 144/216, assim as duas probabilidades ficam com o mesmo denominador. As alternativas são:
(A) Artur, com probabilidade de 2/3 = 144/216;
(E) Artur, com probabilidade de 125/216;
Cálculo do total de casos possíveis: para João existem 6 possibilidades, já para Artur, que joga dois dados, existem 6 × 6 = 36 possibilidades. Logo, aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades é igual a 6 × 36 = 216.
A letra (A) nos indica que dessas 216 possibilidades, Artur possui 144 possibilidades de vitória e portanto o João possui as outras (216 – 144) = 72. Na letra (E), a quantidade de vitórias possíveis para João é 91, uma quantidade maior, portanto, vamos avaliar se João tem exatamente 72 possibilidades de vitória, ou se ele tem uma quantidade maior. 💡João tem a vantagem do empate, logo, quando ele tira 6, ele vence todas as 36 possibilidades do Artur. Isso nos ajuda, pois rapidamente já contabilizamos 36 possibilidades de vitória para João e só faltam mais 36 para chegar em 72. Se passarmos desse valor durante a contagem, podemos parar e escolher a letra (E) como resposta correta.
Quando o João tira 5, ele vence 36 – 11. Temos que excluir os 11 casos em que o Artur tirou pelo menos um 6. Até aqui, João totaliza 36 + 36 – 11 e só faltam 11 para 72.
Quando o João tira 4, ele vence 36 – 11 – 9 = 16 (Aqui já superou 72, portanto eliminamos a letra (A)). E assim, só temos a letra (E). Os 9 que foram subtraídos, são aqueles em que o Artur tira pelo menos um número 5 e não tira um número 6.
Este problema pode ser resolvido com menos contas quando o nosso objetivo é apenas marcar a alternativa correta. A letra (E) nos indica uma probabilidade de vitória para Artur de 125/216 e para João, a probabilidade de vitória é 1 – (125/216) = 91/216 "probabilidade do evento complementar". A seguir, vamos encontrar passo a passo essas duas probabilidades de uma outra forma.
Calculando a probabilidade de vitória de João e Artur
A probabilidade de João vencer (vamos chamá-la de PJ) é igual ao total de vitórias possíveis de João (vamos chamá-lo de VJ) dividido pelo total de casos possíveis (que é 216). Simplificando: PJ = VJ / 216. O que ainda precisamos descobrir é o VJ.
E a probabilidade de Artur vencer? Neste caso, é a probabilidade do evento complementar. Por exemplo, numa final de campeonato, se um dos dois times possui 75% de probabilidade de ser campeão, o outro só poderá ter (100% – 75%) = 25%. Deste modo, a soma 75% + 25% = 100%. Vamos usar essa mesma ideia durante a resolução deste problema, assim mantemos o foco em apenas um dos jogadores, e no final calculamos a probabilidade do outro.
Reforçando, em caso de empate, a vitória é de João. Artur joga dois dados e fica com o maior valor, o que traz alguns fatos curiosos, por exemplo, tirou "13" (isto é, 1 no primeiro dado e 3 no segundo), o que vai valer é o maior, que é o 3. Ou também, tirou "15", ficamos com o 5. Nesta resolução, em vez de escrever (4,6) para indicar que Artur tirou 4 no primeiro dado e 6 no segundo, vamos usar direto o número 46 para representar isso. 💡 Assim, conseguimos visualizar essas retiradas por meio da observação das dezenas e unidades de um determinado número.
Perceba que o resultado 1 só vai aparecer uma vez, quando ele tirar 11. Já o 6 vai aparecer muito mais, naqueles que começam com um 6 (são eles, 61, 62, 63, 64, 65 e 66) e também naqueles que terminam em 6 (são eles, 16, 26, 36, 46, 56, 66* já apareceu). Num primeiro momento, é possível mentalizar essa lista de números que são todas as possibilidades de Artur:
11, 12, 13, 14, 15, 16
21, 22, 23, 24, 25, 26
31, 32, 33, 34, 35, 36
41, 42, 43, 44, 45, 46
51, 52, 53, 54, 55, 56
61, 62, 63, 64, 65, 66
Essa lista nos permite criar uma matriz, para cada um desses 36 números, ficamos apenas com o maior algarismo. O resultado está na matriz a seguir:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
Essa matriz tem 6 linhas (são as 6 faces possíveis do primeiro dado) e 6 colunas (são as 6 faces possíveis do segundo). Cada elemento dessa matriz é uma dessas retiradas possíveis do Artur, por exemplo, se ele tirar 34 (lembra, 3 no primeiro e 4 no segundo) o que vai valer é o 4. É possível notar que o resultado 6 domina a linha 6 e a coluna 6. E do lado oposto, o número 1 só aparece uma vez (foi quando ele tirou 1 e 1).
Até agora, perceba que não fizemos tanta coisa, só calculamos 6 x 6 x 6 = 216 casos possíveis, depois imaginamos uma lista organizada de 36 números de dois algarismos (aquelas 36 possibilidades de retirada dos dois dados do Artur) e criamos uma matriz 6 x 6, com 36 quadradinhos, cada um contendo o maior algarismo entre o índice da linha e o da coluna.
Contabilizando o total de vitórias possíveis de João
Para fazer essa contagem, vamos comparar os 6 números possíveis dele com os daquela matriz.
Quando João tira 1, o Artur tem aquelas 36 possibilidades, João só ganha em uma delas, que é quando o resultado de Artur vale 1. Quando eles empatam, então a vitória é de João.
Quando João tira 2, o Artur novamente tem as mesmas 36 possibilidades, João ganha em 2×2 = 2² = 4 possibilidades. Elas estão em destaque a seguir:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
Nos próximos casos, esse processo será comentado de forma mais breve.
João tira 3, e vence em 3² = 9.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
João tira 4, e vence em 4² = 16.
João tira 5, e vence em 5² = 25.
João tira 6, e vence todas as 36, "que é igual a 6²".
Total de vitórias possíveis de João = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91.
Total de vitórias possíveis de Artur = 216 – 91 = 125.
| Probabilidade de João Vencer |
Probabilidade de Artur Vencer |
| 91/216 | 125/216 |
Resposta Correta
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
(E) Artur, com probabilidade de 125/216;
Nesta questão, cujo tema principal é probabilidade, vimos que um conceito de outra área — matrizes — ajudou a organizar as informações e tornar a resolução mais prática. Essa é apenas uma das possíveis abordagens para esse problema.
Para quem está estudando para o ENEM ou vestibulares, questões de probabilidade podem ser difíceis no início. Por isso, começar por questões mais simples, avançar para as intermediárias e só depois partir para as mais complexas costuma tornar o processo mais leve e eficiente.
Se você quiser praticar esse tema, aproveite e confira a lista de questões de probabilidade de provas anteriores do ENEM.
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Um forte abraço e bons estudos.
