Problema de matemática em um contexto de redução de vendas de um produto a uma taxa constante (cálculo com equação exponencial e logaritmos).
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão do Banco do Brasil.
Enunciado da Questão
Em 2021, uma empresa lançou o produto P, até então o único de sua categoria no mercado. No início do ano seguinte, uma outra empresa lançou um forte concorrente desse produto. O lançamento desse produto concorrente implicou, em 2022, uma redução de 4% nas vendas do produto P, em comparação com 2021.
Supondo-se que essa taxa de redução anual nas vendas se mantenha, o número aproximado de anos, depois de 2021, em que as vendas do produto P serão apenas 30% das vendas alcançadas no ano do seu lançamento é dado por
| (A) | –1 + log10 3 |
| –2 + 5·log10 2 + log10 3 |
| (B) | –3 + log103 |
| –2 + 5·log102 + log103 |
| (C) | 2 + 5·log102 |
| –1 + 3·log102 + log103 |
| (D) | 4 + log102 |
| –1 + 3·log102 + log103 |
| (E) | –5 + 4 log103 |
| –2 + 3·log102 + log103 |
Resolução Comentada
Um problema de equação exponencial onde utilizaremos propriedades dos logaritmos. Esse tema é muito cobrado em provas de matemática de carreiras bancárias. Ao final da resolução, confira um link para uma questão similar para praticar ainda mais.
Vamos resolver este problema passo a passo utilizando a fórmula a seguir:
VF = VI ( 1 + i )n
Sendo (VF, VI, i, n ) respectivamente (valor futuro, valor inicial, taxa de crescimento, número de períodos).
Identificando os dados
- i: –4%, ou seja, –0,04;
- VI vale o próprio VI e assim VF é igual a 0,30 VI;
- n é o número de períodos que iremos descobrir.
Aplicando estes valores na fórmula
VF = VI ( 1 + i )n
0,30VI = VI ( 1 – 0,04 )n
0,30 = 0,96n
Aplicar log10 nos dois lados da igualdade. Nesta resolução, vamos usar simplesmente log para representar log10.
log 0,30 = log 0,96n
log 3/10 = n · log 0,96
log 3 - log 10 = n · log 96/100
log 3 – 1 = n · (log 96 – log 100)
log 3 – 1 = n · (log (25 · 3) – 2)
log 3 – 1 = n · (log 25 + log 3 – 2)
log 3 – 1 = n · (5·log 2 + log 3 – 2)
n = (–1 + log 3) / (–2 + 5·log 2 + log 3)
Resposta Correta
| (A) | –1 + log10 3 |
| –2 + 5·log10 2 + log10 3 |
Pratique com mais uma questão de logaritmos
Aproveite o ritmo para resolver mais uma questão de equação exponencial da banca Cesgranrio (concurso para o BNB 2024). Nessa questão, será necessário comparar o número de clientes de dois investimentos (um decrescente e outro crescente) para determinar o tempo em anos em que eles terão a mesma quantidade. É um problema interessante para praticar logaritmos e equações exponenciais, basta entrar pelo link a seguir:
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Um forte abraço e bons estudos.
