Questão de geometria plana (comprimento da circunferência) em um problema de alocação de policiais em uma ciclovia no entorno de uma lagoa circular.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
No entorno de uma lagoa circular, cujo raio mede 1 km, há um uma ciclovia. Devido aos frequentes roubos de bicicleta, a prefeitura planeja alocar policiais em posições estratégicas para patrulhar essa ciclovia, de forma a torná-la totalmente protegida. Um ponto da ciclovia é considerado protegido se houver pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto, posicionado sobre a ciclovia. A figura ilustra um ponto P sobre a ciclovia, que estará protegido se houver pelo menos um policial posicionado sobre a região de cor cinza escuro.
Desconsidere a largura da pista da ciclovia e utilize 3 como aproximação para π.
Nessas condições, a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para torná-la protegida é
(A) 4.
(B) 8.
(C) 15.
(D) 30.
(E) 60.
Resolução Comentada
Vamos iniciar a solução deste problema calculando o perímetro da ciclovia. Para fazer isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência de raio R:
C = 2πR
Sabemos que 1 km = 1 000 m, portanto, vamos utilizar os seguintes valores: π = 3 (regra do enunciado), e R = 1 000 m.
C = 2πR = 2 · 3 · 1 000 = 6 000 m
O objetivo é encontrar a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para protegê-la. A figura a seguir apresenta os policiais posicionados a cada 400 metros.
Um policial alocado em um determinado ponto será capaz de proteger 200 metros no sentido horário e também 200 metros no sentido anti-horário. Assim, ele é capaz de cobrir 200 + 200 = 400 m, sendo esta também a distância entre os policiais.
Tente imaginar o seguinte: alocamos um policial num certo ponto da ciclovia, caminhamos por ela mais 400 metros, e alocamos o segundo policial. Continuamos andando por mais 400 metros e ali alocamos o terceiro, e assim sucessivamente, até percorrermos toda a ciclovia. Ao final deste trabalho, teremos um policial a cada 400 metros e todos os pontos dessa ciclovia estarão protegidos.
Agora, vamos obter a quantidade N de policiais passo a passo:
- 1 policial protege 400 m.
- 2 policiais protegem 2 × 400 = 800 m.
- 3 policiais protegem 3 × 400 = 1200 m.
- (...)
- N policiais protegem N · 400 m.
Sabemos que N · 400 = 6 000 m, então
N · 400 = 6 000
N = 6 000/400
N = 15 policiais
Resposta Correta
(C) 15
Atenção: neste problema, alocar um policial a cada 200 metros na ciclovia não resultará na quantidade mínima necessária. Isto nos levaria a encontrar 30 policiais, quando o correto é apenas 15.
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Um forte abraço e bons estudos.
