Questão de matemática que envolve logaritmos, equação do segundo grau e análise combinatória.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UECE.
Enunciado da Questão
Se o valor de x maior que 1 satisfaz a equação logₓ (2x + 3) = 2 é o total de pessoas que estão aguardando para entrar no cinema, então, a quantidade de maneiras diferentes de organizar estas pessoas em fila é
A) 2.
B) 4.
C) 6.
D) 8.
Resolução Comentada
Hoje vamos resolver um problema que aborda vários assuntos da matemática. Primeiramente, vamos analisar a equação logarítmica.
Condições de Existência dos logaritmos
Para um logaritmo do tipo loga(b), precisamos respeitar as seguintes regras:
- a > 0 e a ≠ 1.
- b > 0
No nosso caso, temos a equação logx (2x + 3) = 2. Portanto, as condições são:
- x > 0 e x ≠ 1
- 2x + 3 > 0
Retornaremos a este ponto quando encontrarmos os valores para x.
Obs: no contexto deste problema, em que a solução representa o total de pessoas que estão aguardando para entrar no cinema, nós sabemos que essa quantidade é inteira e positiva. O próprio enunciado espera o valor de x maior que 1. Então, quando encontrarmos a solução, vamos atentar para esses valores permitidos para x.
Resolução da equação logarítmica
logx (2x + 3) = 2
2x + 3 = x2
x2 – 2x – 3 = 0
Estamos diante de uma equação quadrática (equação do segundo grau), podemos resolvê-la de diferentes maneiras. Para exercitar, vamos resolver por dois métodos diferentes:
Método 1: Soma e Produto
Em uma equação do segundo grau do tipo ax2 + bx + c = 0, a soma das raízes é dada por –b/a e o produto é c/a. Para a nossa equação:
- Soma (x₁ + x₂) = –(–2)/1 = 2
- Produto (x₁ · x₂) = –3/1 = –3
Procuramos dois números que somados resultem em 2 e multiplicados resultem em –3. Logo, as raízes são x₁ = –1 e x₂ = 3.
Método 2: Completar Quadrados
Outra forma possível para encontrar essas raízes é completar quadrados:
x2 – 2x = 3
Para completar o quadrado, adicionamos 1 em ambos os lados da igualdade para que o lado esquerdo se torne um trinômio quadrado perfeito:
x2 – 2x + 1 = 3 + 1
(x – 1)2 = 4
x – 1 = ± 2
x = 1 ± 2
- x₁ = 1 – 2 = –1
- x₂ = 1 + 2 = 3
Análise das raízes
Agora, precisamos descartar x₁ = –1 por dois motivos: o primeiro é a condição de existência dos logaritmos. Como já atentamos no início, a base x deve ser maior que 0 e diferente de 1. Além disso, o próprio enunciado quer um valor de x maior que 1. Neste caso, x = 3 satisfaz a condição de existência dos logaritmos e o comando do enunciado.
Prova real
Vamos testar x = 3 na equação original:
log3 (2 · 3 + 3) = 2
log3 (6 + 3) = 2
log3 (9) = 2 ✅
Cálculo das permutações
Chegamos à conclusão de que o total de pessoas que estão aguardando para entrar no cinema é igual a 3. A questão pede a quantidade de maneiras diferentes de organizar estas pessoas em fila, o que nos leva ao cálculo da permutação simples de 3 elementos:
Pn = n!
Para n = 3:
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
Resposta Correta
(C) 6
Uma forma de resolução para este problema baseada na análise das alternativas: ao percorrê-las, observamos valores pequenos, sendo 8 o maior deles. Como o valor encontrado para x vai ser usado em uma permutação, podemos notar que
- P₂ = 2 · 1 = 2
- P₃ = 3 · 2 · 1 = 6
- P₄ = 4 · 3 · 2 · 1 = 24❌
Assim, x não poderá ser 4, pois P₄ é um valor bem acima das opções disponíveis. Também estão descartados valores para x maiores do que 4. Podemos notar também que as opções (B) 4 e (D) 8 não são fatoriais de números inteiros positivos, e precisam ser eliminadas.
Os valores possíveis para x são 2 ou 3. Ao aplicar x = 2 na equação, percebemos que ele não a satisfaz, mas x = 3 satisfaz. Essa análise também nos leva à letra (C).
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Um forte abraço e bons estudos.
