Resolução da questão de matemática financeira do Banco do Brasil 2023 (pagamento de terreno à vista ou a prazo).

Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática financeira.

Enunciado da Questão

Um terreno está sendo vendido, à vista, por R$ 120.000,00, com pagamento na data da assinatura da escritura. Ele também pode ser adquirido a prazo, de modo que os R$ 120.000,00 sejam equivalentes, a uma taxa de 2% a.m. no regime de juros compostos, ao pagamento de uma entrada na data de assinatura da escritura, mais 12 parcelas mensais e iguais a R$ 5.080,00, com a primeira sendo paga um mês após essa assinatura, e mais um pagamento final, um mês após a 12ª parcela mensal, quando o financiamento ficará totalmente quitado. Considere que uma família quer comprar esse terreno, desembolsando, no máximo, R$ 26.000,00 no pagamento final.

Levando-se em conta apenas as condições apresentadas e os dados fornecidos, o valor mínimo de entrada, em reais, que a família precisará desembolsar, para comprar o terreno, é de, aproximadamente,

(A) 40.000,00
(B) 46.000,00
(C) 54.000,00
(D) 60.000,00
(E) 66.000,00

Dados:
1,02¹² = 1,27;
1,02¹³ = 1,30

Fonte: questão de matemática financeira do Concurso do Banco do Brasil (Edital Nº 01 - 2022/001 BB), Cargo Escriturário - Agente Comercial, Banca examinadora: Fundação Cesgranrio. Prova C realizada em 23/04/2023.

Resolução Comentada

Neste problema de matemática financeira, realizaremos o cálculo de valor atual ou valor presente de uma série de pagamentos no regime de juros compostos. Será utilizado o conceito de equivalência de fluxo de caixa, um tema recorrente em provas de concursos públicos para carreiras bancárias. Essas operações são muito frequentes em situações do nosso cotidiano, como no financiamento de imóveis e veículos.

1️⃣ Estrutura geral do problema

Para solucionar essa questão, utilizaremos o conceito de equivalência de fluxo de caixa. Vamos igualar o valor à vista do terreno à soma dos três valores a seguir: valor da entrada, o valor presente das 12 parcelas mensais (uma série uniforme periódica postecipada) e o valor presente do pagamento final. Equacionando:

R$ 120.000,00 = Entrada + Valor Presente das 12 Parcelas + Valor Presente do Pagamento Final

2️⃣ Cálculo do valor presente do pagamento final

Para comprar o terreno com a menor entrada possível, será necessário efetuar o maior pagamento final possível, que no caso é R$ 26.000,00.

Para calcular o valor presente do pagamento final, será utilizada a fórmula de juros compostos:

$$M = C(1 + i)^t$$

M: Montante ➡️ R$ 26.000,00
C: Capital inicial (é o valor presente que estamos buscando)
i: taxa de juros ➡️ 0,02 ao mês
t: tempo (período) ➡️ 13

Vamos utilizar t = 13, pois o pagamento final ocorre um mês após a última parcela (que é a 12ª).

Para este cálculo, utilizaremos a aproximação do enunciado:

$$(1,02)^{13} = 1,30$$

Isolando o capital C na fórmula de juros compostos:

$$C = \frac{M}{(1 + i)^t}$$

Substituindo os valores:

$$C = \frac{26.000}{(1 + 0,02)^{13}}$$ $$C = \frac{26.000}{(1,02)^{13}}$$ $$C = \frac{26.000}{1,30}$$ $$\boxed{C = 20.000}$$

3️⃣ Cálculo do valor presente dos 12 pagamentos de R$ 5.080,00

Para calcular o Valor Presente (PV) de uma série uniforme periódica postecipada, vamos utilizar a fórmula a seguir:

$$PV = PMT \cdot \frac{ [(1+i)^n - 1]}{i \cdot (1+i)^n}$$

Esta é a fórmula que utilizamos no Sistema Price.

Abaixo estão os elementos desta fórmula:

PV (Present Value / Valor Presente): representa o valor atual a ser determinado;
PMT (Payment / Pagamento): refere-se ao valor fixo de cada parcela, neste problema o valor é R$ 5.080,00;
i (taxa de juros): é a taxa aplicada de 0,02 ao mês;
n (número de pagamentos): são 12 pagamentos mensais, sendo o primeiro deles um mês após a assinatura da escritura.

Para este cálculo, utilizaremos a aproximação do enunciado:

$$(1,02)^{12} = 1,27$$

O próximo passo é substituir os valores na fórmula e resolver para encontrar PV:

$$PV = \frac{5080 \cdot [(1,02)^{12} - 1]}{0,02 \cdot (1,02)^{12}}$$ $$PV = \frac{5080 \cdot (1,27 - 1)}{0,02 \cdot 1,27}$$ $$PV = \frac{5080 \cdot 0,27}{2 \cdot 127 \cdot 10^{-4}}$$ $$PV = \frac{508 \cdot 2,7}{254 \cdot 10^{-4}}$$ $$PV = \frac{2 \cdot 2,7}{10^{-4}}$$ $$PV = \frac{5,4}{10^{-4}}$$ $$PV = 5,4 \cdot 10^{4}$$ $$\boxed{PV = 54 000}$$

4️⃣ Cálculo Final: descobrindo o valor mínimo da entrada

Finalmente, substituímos os valores encontrados na equação inicial para encontrar o valor da entrada (E):

Valor à Vista = E + PV_parcelas + PV_final

120.000 = E + 54.000 + 20.000

120.000 = E + 74.000

E = 120.000 - 74.000

E = R$ 46.000,00

Portanto, o valor mínimo de entrada é de aproximadamente R$ 46.000,00.

Resposta Correta

(B) 46.000,00

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Forte abraço e bons estudos.