Resolução da questão do ENEM 2015 (probabilidade de um aluno compreender e falar inglês em uma escola).
Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.
Enunciado da Questão
Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é
(A) 23,7%
(B) 30,0%
(C) 44,1%
(D) 65,7%
(E) 90,0%
Fonte: questão de matemática do ENEM 2015 — 2º Dia, Caderno 5 (Amarelo).
Resolução Comentada
Um problema interessante de probabilidade binomial onde será explorado o conceito de probabilidade do evento complementar. Nesta resolução, para simplificar os comentários, em vez de escrever 'a probabilidade de um aluno compreender e responder em inglês' vamos usar simplesmente 'a probabilidade de um aluno responder'.
1️⃣ Dados do problema
- Probabilidade de um aluno responder: p = 30%;
- Probabilidade de um aluno NÃO responder: q = 1 – p = 70%;
- Número total de alunos na sala: n = 3;
- Objetivo: encontrar a probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida (ou seja, a probabilidade de 'pelo menos um aluno responder').
2️⃣ Utilizando o evento complementar
Podemos resolver essa questão utilizando o conceito de evento complementar. Sejam:
- P(X=0) a probabilidade de nenhum aluno responder;
- P(X=1) a probabilidade de exatamente 1 aluno responder;
- P(X=2) a probabilidade de exatamente 2 alunos responderem;
- P(X=3) a probabilidade dos 3 alunos responderem;
A soma dessas probabilidades é 100%.
Nosso objetivo é calcular a probabilidade de "pelo menos um aluno responder", vamos chamá-la de P(X≥1). Na equação acima, vamos substituir P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) por P(X≥1).
Quando o entrevistador fizer a pergunta: ou nenhum dos alunos consegue responder, ou pelo menos um deles responde (eventos complementares). A seguir vamos isolar P(X≥1) que é o nosso objetivo.
Calcular P(X=0) é bem mais rápido e vai nos permitir descobrir quanto é P(X≥1) com a equação acima.
3️⃣ Calculando a probabilidade de nenhum aluno responder
Agora, vamos calcular a probabilidade do primeiro aluno não responder 'e' o segundo também não 'e' o terceiro também não. Como são eventos independentes, multiplicamos as probabilidades:
P(X=0) = q × q × q
P(X=0) = 70% × 70% × 70%
P(X=0) = 49% × 70%
P(X=0) = 34,3%
4️⃣ Calculando o objetivo final
Agora que já sabemos que P(X=0) é 34,3%, podemos usá-la para finalmente encontrar P(X≥1).
P(X≥1) = 100% – P(X=0)
P(X≥1) = 100% – 34,3%
P(X≥1) = 65,7%
Resposta Correta
(D) 65,7%
Observação: o aluno responde em inglês quando ele é capaz de compreender 'e' falar inglês. O aluno precisa atender esses dois requisitos. Neste problema, essa probabilidade é 30%.
Já para um aluno não responder (evento complementar), a probabilidade é 70%. Um detalhe que não foi necessário para a resolução é que no grupo dos que 'não respondem', existem os seguintes cenários:
- Não compreende 'e' não fala;
- Compreende 'e' não fala;
- Não compreende 'e' fala.
Neste grupo, de fato existem aqueles que 'não compreendem e não falam', mas também existem os outros apresentados acima.
Relembrando: a negação de A e B é ➡️ Não A ou Não B.
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Agora que você exercitou o conceito de evento complementar, que tal praticar com uma questão mais difícil? Em uma questão de probabilidade do ENEM 2023 sobre a instalação de duchas, essa mesma lógica foi aplicada, mas com um grau de complexidade maior. Nela, foi apresentada a fórmula da probabilidade binomial. Aproveite este próximo passo para expandir seu repertório matemático. ✨
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Questões de Matemática do ENEMForte abraço e bons estudos.
