(ENEM - 2018) A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

(ENEM - 2018)  A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio.  Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

O passeio terá seu piso revestido em ladrilhos.  Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro faz a seguinte medição:  esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre os dois pontos A e B, conforme a figura.  Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16m.

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

a)  4π 

b)  8π

c)  48π

d)  64π

e)  192π

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Solução:  uma questão de matemática de geometria plana do ENEM bem interessante, onde vamos utilizar conhecimentos sobre a área da coroa circular e as relações métricas na circunferência.

Note que a medida da área do passeio que o engenheiro deseja calcular é igual a área da coroa circular.   

Não temos as medidas dos raios dos círculos, mas o enunciado nos deu o valor da corda AB =16 m, esta corda do círculo maior está tangenciando o círculo menor, o que vai nos permitir obter uma relação entre R e r, vamos ilustrar isso a seguir na própria questão do ENEM.

Na própria figura do enunciado, ilustramos o ponto O, que é o centro dos dois círculos e o ponto T, que é o ponto de tangencia do segmento AB no círculo menor.

Sabemos que o raio r é perpendicular ao segmento AB no ponto T, note que este será o ponto médio do segmento AB.  Perceba que os triângulos retângulos OBT e OAT possuem a mesma hipotenusa que é o raio R e um dos catetos vale r, então isto quer dizer que AT terá que ser igual a BT, ou seja, AT = BT = 16/2 = 8m.  Logo, os triângulos OBT e OAT possuem as mesmas medidas (R ; r ; 8m).

Qualquer um desses triângulos retângulos vai nos permitir obter uma relação entre R e r por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras:

R² = r² + 8²

R² - r² = 64

Finalmente, basta aplicarmos este valor na área da coroa circular:

Área = π (R² - r²)

Área = π . 64
Área = 64 π m²

Alternativa correta é a letra d)

Aproveite este momento para resolver uma lista de questões de geometria plana sobre a área da coroa circular e praticar ainda mais esse tema:

>>> Exercícios Resolvidos sobre a Área da Coroa Circular

Um forte abraço e bons estudos.