(EsPCEx - 2019) Seja f a função quadrática definida por f (x)=2x²+ (log1/3 k) x+2, com k ∈ R e k>0. O produto dos valores reais de k para os quais a função f (x) tem uma raiz dupla é igual a

(EsPCEx - 2019) Seja f a função quadrática definida por f (x)=2x²+ (log_1/3 k) x+2, com k ∈ R e k>0.  O produto dos valores reais de k para os quais a função f (x) tem uma raiz dupla é igual a

a) 1  b)  2   c)  3  d) 4  e ) 5

Solução: questão da Escola Preparatória de Cadetes do Exército que aborda logaritmos e função do segundo grau.

A raiz dupla em uma equação do segundo grau acontece quando Δ = 0.

Vamos substituir log_1/3 k = t

f(x) = 2x²+ tx+2

Δ = 0
b² - 4ac = 0
t² - 4.2.2 = 0
t² - 16 = 0
t² = 16
t₁ = 4 ou t₂ = -4

log_1/3 k = 4   
k = 1/3 ⁴
k1 = 1/81

log_1/3 k = -4
k = 1/3 ^-4
k = 3 ⁴
k2 = 81

k1 . k2 = 1/81 . 81  = 1 [ alternativa correta é a letra A ]

Um forte abraço e bons estudos.