(Colégio Naval - 2019) O perímetro do triângulo ABC mede x unidades.  O triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e sua área é 36 vezes a área do triângulo ABC. Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro do triângulo DEF é igual a:

a) 2x
b) 3x
c) 6x
d) 9x
e) 10x

Solução:  questão muito boa sobre semelhança de triângulos, áreas e perímetro.

Caso você não tenha estudado ainda sobre semelhança de triângulos, ou polígonos em geral, eu recomendo que você estude por este artigo do Brasil Escola:

>>> https://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-triangulos.htm.  Acesso feito em 06/01/2020 às 21:56 minutos.

Caso já esteja tranquilo com semelhança de triângulos, vamos partir para a resolução da questão passo a passo, elaborando os triângulos semelhantes bem simples para facilitar nosso trabalho, vejamos:



Repare que os triângulos ABC e DEF são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais, sendo assim, existe uma proporcionalidade entre seus lados.  As relações a seguir são verdadeiras:

EF / BC = DF / AC = DE / AB

c / √2   = (b + 1) /1 = (a+1)/1

c / √2   = (b + 1) = (a+1)

Sabemos que a área de ABC = (1 . 1) / 2 = 1/2
A área de DEF é 36 vezes a área de ABC
A área de DEF = (a+1) . (b+1) .1/2 = 36. 1/2
A área de DEF = (a+1) . (b+1) = 36

Repare que neste triângulo o lado DE = DF.

(a+1) = (b+1) = 6

Sendo assim, podemos adicionar novas informações a figura inicial para matar o problema.




Ficou fácil agora:
x = 1 + 1 + √2
x = 2 +√2 

Perímetro de DEF = 6 + 6 + 6√2 = 6 (1+1+√2) = 6 (2 + √2) = 6 x.  A alternativa correta é a letra C.

A moral da história é: como cada lado do novo triângulo aumentou em 6 vezes para a área aumentar 36 vezes, o seu perímetro aumentou em 6 vezes.

Espero ter ajudado na compreensão do problema com esta resolução ilustrada passo a passo.

Aproveite e confira mais questões resolvidas de matemática do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.