(UNICAMP - 2020)¬†Sabendo que ūĚĎź √© um n√ļmero real, considere, no plano cartesiano, a circunfer√™ncia de equa√ß√£o x¬≤ + y ¬≤ = 2ūĚĎźūĚĎ•. Se o centro dessa circunfer√™ncia pertence √† reta de equa√ß√£o x + 2y = 3, ent√£o seu raio √© igual a

a)¬†‚ąö2.
b)¬†‚ąö3.
c) 2.
d) 3.

Solução:  questão interessante de geometria analítica sobre circunferências e retas.  A equação reduzida de uma circunferência é dada por

(x - xc)² + (y-yc)² = R²

O centro de uma circunferência tem coordenadas (xc,yc) e seu raio vale R.

A circunferência do problema é:
x¬≤ + y ¬≤ = 2ūĚĎźūĚĎ•
Vamos coloc√°-la em sua forma reduzida:

x² - 2cx + y ² = 0  
x² - 2cx + c² + y² = + c²
Adicionamos + c¬≤ para formar um trin√īmio do quadrado perfeito em x.¬† Como foi adicionado de um lado da equa√ß√£o, precisamos adicionar + c¬≤ do outro lado da equa√ß√£o, mantendo a rela√ß√£o de igualdade. Finalmente a equa√ß√£o reduzida desta circunfer√™ncia ser√°:
(x-c)² + (y-0)² = c²

Podemos concluir que o centro dessa circunferência está em (c,0) e seu raio vale c.

Este centro (c,0) faz parte da reta  x + 2y = 3 conforme enunciado.  Sendo assim, podemos descobrir c, aplicando este ponto (c,0) na equação da reta a qual ele pertence.

c + 2.0 = 3
c = 3
O raio desta circunferência é exatamente igual a c, que vale 3. A alternativa correta é a letra D.

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