(UNICAMP - 2020) Sabendo que 𝑐 é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y ² = 2𝑐𝑥. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então seu raio é igual a

a) √2.
b) √3.
c) 2.
d) 3.

Solução:  questão interessante de geometria analítica sobre circunferências e retas.  A equação reduzida de uma circunferência é dada por

(x - xc)² + (y-yc)² = R²

O centro de uma circunferência tem coordenadas (xc,yc) e seu raio vale R.

A circunferência do problema é:
x² + y ² = 2𝑐𝑥
Vamos colocá-la em sua forma reduzida:

x² - 2cx + y ² = 0  
x² - 2cx + c² + y² = + c²
Adicionamos + c² para formar um trinômio do quadrado perfeito em x.  Como foi adicionado de um lado da equação, precisamos adicionar + c² do outro lado da equação, mantendo a relação de igualdade. Finalmente a equação reduzida desta circunferência será:
(x-c)² + (y-0)² = c²

Podemos concluir que o centro dessa circunferência está em (c,0) e seu raio vale c.

Este centro (c,0) faz parte da reta  x + 2y = 3 conforme enunciado.  Sendo assim, podemos descobrir c, aplicando este ponto (c,0) na equação da reta a qual ele pertence.

c + 2.0 = 3
c = 3
O raio desta circunferência é exatamente igual a c, que vale 3. A alternativa correta é a letra D.

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