(EsPCEx 2019) Dividindo-se o polinômio P(x) = 2x4 - 5x3 + kx - 1 por (x-3) e (x+2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a

[A] 10.    [B] 9.    [C] 8.    [D] 7.    [E] 6.


Solução:  questão sobre polinômios onde precisaremos realizar as duas divisões e ao final igualar os restos para obter o valor de k.  Atenção porque esta é uma questão muito boa para praticar a divisão de polinômios quando nem todos os seus coeficientes são números.

Se você ainda não estudou o mecanismo da divisão de polinômios, recomendo este exercício introdutório.

>> Exercício resolvido de divisão de polinômios.

Continuando esta resolução, a divisão de  (2x4 - 5x3 + kx - 1) por (x-3)  gera resto: 3k+26



A divisão de  (2x4 - 5x3 + kx - 1) por (x+2)  gera resto: -2k+71



Agora basta igualar:

3k+26 = -2k + 71
5k = 71-26
5k = 45
k = 9
Alternativa correta é a letra B.

Curiosidade: podemos usar um método alternativo por meio do "Teorema do Resto" que basicamente quer dizer:

Quando dividimos P(x) por Q(x) = ax+b e encontramos um resto R, então:
P [ Raiz  de Q(x) ] = R
P [ -b/a] = R

Como a divisão de P(x) = 2x4 - 5x3 + kx - 1 por (x-3) e (x+2)  dá o mesmo resto, vamos chamá-lo de R, e:

Q1(x) = x-3
Q2(x) = x+2

Raiz de Q1(x)
x-3 = 0
x = 3

 Raiz de Q2(x)
x+2 = 0
x = -2

P(3) = R  e  P(-2) = R

P(3) = 2x4 - 5x3 + kx - 1  = R
2.34 - 5 . 3³ + k . 3  -  1 = R
162 - 5 . 27 + 3k - 1 = R
162 - 135 - 1 + 3k = R
26 + 3k = R

P(-2) = 2x4 - 5x3 + kx - 1  = R
2.(-2)4 - 5 . (-2)³ + k . (-2)  -  1 = R
2.16 - 5 . (-8) - 2k - 1 = R
32 + 40 - 1 - 2k = R
71 - 2k = R

Novamente, basta igualar:

26 + 3k = 71 - 2k
5k = 45
k = 9

Continue estudando o tema polinômios por aqui. Aproveite e confira uma lista com várias questões resolvidas sobre polinômios e equações polinomiais:


Um forte abraço e bons estudos.