(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio) Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números inteiros, e o conjunto B formado por todos os possíveis produtos de três elementos de A. Se B = {-30, -20, -12, 0, 30}, qual o valor da soma de todos os elementos de A?

(A) 5
(B) 3
(C) 12
(D) 8
(E) -12


Solução: achei essa questão muito inteligente.  Vamos resolver de uma forma, mas acredito que hajam outros caminhos para a sua solução.  É importante comentar que no último concurso do Banco do Brasil, ocorrido em 2018, a prova de matemática veio com questões "bem puxadas". 

Seja o conjunto A = {A1, A2, A3, A4, A5} formados por números inteiros.

O conjunto B é formado por todos os resultados dos produtos entre três elementos de A. 

Ou seja, a quantidade de elementos de B será uma combinação de 5 com 3.

C 5,3 = [5!]  /  [(3!) (5-3)!]
C 5,3 = [5 x 4 x 3!] / [ (3!)(2!)]
C 5,3 = 20 / 2
C 5,3 = 10

O conjunto B deveria ter 10 elementos, mas ele só possui 5 elementos, veja:
 B = {-30, -20, -12, 0, 30}

Então temos um indício de que alguns dos produtos são repetidos.  Repare naquele 0 em vermelho, como um dos produtos deu 0, então pelo menos um elemento de A vale exatamente 0.

Repare, que A, no mínimo é assim:

A = {A1, A2, A3, A4, 0}

Será que existe mais de um zero no conjunto A?

Não, só existe um zero mesmo, isso porque o número de outras combinações de produtos em que o A5 não aparece são iguais a C4,3 que dá exatamente 4 elementos, os quais compõe o conjunto B.

C 4,3 = [4! ]/ [(3!)(4-3)!]
C 4,3 = [4! ]/ [(3!)(1!)]
C 4,3 = 4 . 3!/ [(3!)(1!)]
C 4,3 = 4 elementos. 
São eles   {-30, -20, -12, 30}

Até aqui podemos afirmar que A é formado por exatamente um número 0 e por mais 4 números inteiros.

A = {A1, A2, A3, A4, 0}

Podemos afirmar que:

A1 x A2 x A3 = -30
A1 x A2 x A4 = -20
A1 x A3 x A4 = -12
A2 x A3 x A4 =  30

** Não necessariamente na ordem dada acima.


Vamos decompor em fatores primos os números 30, 20 e 12.


Repare que os elementos que aparecem são 2,2,3 e 5. Estamos chegando perto, e poderíamos esboçar o conjunto A da seguinte maneira:

A = {2, 2, 3, 5, 0}


A1 x A2 x A3 = 2 .2 .3 = 12
A1 x A2 x A4 = 2. 2. 5 = 20
A1 x A3 x A4 = 2. 3. 5 = 30
A2 x A3 x A4 = 2. 3. 5 = 30

Esses resultados estão todos positivos, mas existem os resultados negativos. Vamos tentar colocar um sinal de menos no elemento A2.

A = {2, -2, 3, 5, 0}

E os resultados serão:

A1 x A2 x A3 = 2   x  (-2)  x   3    =   - 12
A1 x A2 x A4 = 2   x  (-2)  x   5    =   - 20
A1 x A3 x A4 = 2   x    3    x   5    =     30
A2 x A3 x A4 = -2  x    3    x   5    =   - 30

Finalmente podemos concluir que o conjunto A é dado por  A = {2, -2, 3, 5, 0} e se formarmos um conjunto B com todos os possíveis produtos de todas as possíveis combinações de 3 elementos de A, então o conjunto B será {-30, -20, -12, 0, 30}.

Finalmente, para responder a questão, precisamos calcular o somatório dos elementos de A que será igual a (2) + (-2) + (3) + (5)  + (0) = 8  (alternativa correta é a letra D)

Aproveite e confira bateria de questões sobre teoria dos conjuntos.

Confira também bateria de questões sobre análise combinatória.

Curiosidade: todas as 10 combinações de produtos possíveis dos elementos do conjunto A = {2, -2, 3, 5, 0} são:

( A1 ) x ( A2 ) x ( A3 )   =    ( 2 ) x ( -2 ) x ( 3 )   =    -12
( A1 ) x ( A2 ) x ( A4 )   =    ( 2  ) x ( -2 ) x ( 5 )  =    -20
( A1 ) x ( A2 ) x  (A5 )   =    ( 2  ) x ( -2 ) x ( 0 )  =       0
( A1 ) x ( A3 ) x ( A4 )   =    ( 2  ) x ( 3 ) x ( 5 )   =     30
( A1 ) x ( A3 ) x ( A5 )   =    ( 2  ) x ( 3 ) x ( 0 )   =       0
( A1 ) x ( A4 ) x ( A5 )   =    ( 2  ) x ( 5 ) x ( 0 )   =       0
( A2 ) x ( A3 ) x ( A4 )   =    ( -2  ) x ( 3 ) x ( 5 )  =   -30
( A2 ) x ( A3 ) x ( A5 )   =    ( -2 ) x ( 3 ) x ( 0 )   =      0
( A2 ) x ( A4 ) x ( A5 )   =    ( -2 ) x ( 5 ) x ( 0 )   =      0
( A3 ) x ( A4 ) x ( A5 )   =    ( 3  ) x ( 5 ) x ( 0 )   =      0

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado a compreender esta questão.

Um forte abraço e bons estudos.