Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números inteiros, e o conjunto B formado por todos os possíveis produtos de três elementos de A. Se B = {-30, -20, -12, 0, 30}, qual o valor da soma de todos os elementos de A?
(Concurso: Escriturário Banco do Brasil 2018 / Banca: Fundação Cesgranrio) Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números inteiros, e o conjunto B formado por todos os possíveis produtos de três elementos de A. Se B = {-30, -20, -12, 0, 30}, qual o valor da soma de todos os elementos de A?
(A) 5
(B) 3
(C) 12
(D) 8
(E) -12
Solução: achei essa questão muito inteligente. Vamos resolver de uma forma, mas acredito que hajam outros caminhos para a sua solução. É importante comentar que no último concurso do Banco do Brasil, ocorrido em 2018, a prova de matemática veio com questões "bem puxadas".
Seja o conjunto A = {A1, A2, A3, A4, A5} formados por números inteiros.
O conjunto B é formado por todos os resultados dos produtos entre três elementos de A.
Ou seja, a quantidade de elementos de B será uma combinação de 5 com 3.
C 5,3 = [5!] / [(3!) (5-3)!]
C 5,3 = [5 x 4 x 3!] / [ (3!)(2!)]
C 5,3 = 20 / 2
C 5,3 = 10
O conjunto B deveria ter 10 elementos, mas ele só possui 5 elementos, veja:
B = {-30, -20, -12, 0, 30}
Então temos um indício de que alguns dos produtos são repetidos. Repare naquele 0 em vermelho, como um dos produtos deu 0, então pelo menos um elemento de A vale exatamente 0.
Repare, que A, no mínimo é assim:
A = {A1, A2, A3, A4, 0}
Será que existe mais de um zero no conjunto A?
Não, só existe um zero mesmo, isso porque o número de outras combinações de produtos em que o A5 não aparece são iguais a C4,3 que dá exatamente 4 elementos, os quais compõe o conjunto B.
C 4,3 = [4! ]/ [(3!)(4-3)!]
C 4,3 = [4! ]/ [(3!)(1!)]
C 4,3 = 4 . 3!/ [(3!)(1!)]
C 4,3 = 4 elementos.
São eles {-30, -20, -12, 30}
Até aqui podemos afirmar que A é formado por exatamente um número 0 e por mais 4 números inteiros.
A = {A1, A2, A3, A4, 0}
Podemos afirmar que:
A1 x A2 x A3 = -30
A1 x A2 x A4 = -20
A1 x A3 x A4 = -12
A2 x A3 x A4 = 30
** Não necessariamente na ordem dada acima.
Vamos decompor em fatores primos os números 30, 20 e 12.
A = {2, 2, 3, 5, 0}
A1 x A2 x A3 = 2 .2 .3 = 12
A1 x A2 x A4 = 2. 2. 5 = 20
A1 x A3 x A4 = 2. 3. 5 = 30
A2 x A3 x A4 = 2. 3. 5 = 30
Esses resultados estão todos positivos, mas existem os resultados negativos. Vamos tentar colocar um sinal de menos no elemento A2.
A = {2, -2, 3, 5, 0}
E os resultados serão:
A1 x A2 x A3 = 2 x (-2) x 3 = - 12
A1 x A2 x A4 = 2 x (-2) x 5 = - 20
A1 x A3 x A4 = 2 x 3 x 5 = 30
A2 x A3 x A4 = -2 x 3 x 5 = - 30
Finalmente podemos concluir que o conjunto A é dado por A = {2, -2, 3, 5, 0} e se formarmos um conjunto B com todos os possíveis produtos de todas as possíveis combinações de 3 elementos de A, então o conjunto B será {-30, -20, -12, 0, 30}.
Finalmente, para responder a questão, precisamos calcular o somatório dos elementos de A que será igual a (2) + (-2) + (3) + (5) + (0) = 8 (alternativa correta é a letra D)
Aproveite e confira bateria de questões sobre teoria dos conjuntos.
Confira também bateria de questões sobre análise combinatória.
Curiosidade: todas as 10 combinações de produtos possíveis dos elementos do conjunto A = {2, -2, 3, 5, 0} são:
( A1 ) x ( A2 ) x ( A3 ) = ( 2 ) x ( -2 ) x ( 3 ) = -12
( A1 ) x ( A2 ) x ( A4 ) = ( 2 ) x ( -2 ) x ( 5 ) = -20
( A1 ) x ( A2 ) x (A5 ) = ( 2 ) x ( -2 ) x ( 0 ) = 0
( A1 ) x ( A3 ) x ( A4 ) = ( 2 ) x ( 3 ) x ( 5 ) = 30
( A1 ) x ( A3 ) x ( A5 ) = ( 2 ) x ( 3 ) x ( 0 ) = 0
( A1 ) x ( A4 ) x ( A5 ) = ( 2 ) x ( 5 ) x ( 0 ) = 0
( A2 ) x ( A3 ) x ( A4 ) = ( -2 ) x ( 3 ) x ( 5 ) = -30
( A2 ) x ( A3 ) x ( A5 ) = ( -2 ) x ( 3 ) x ( 0 ) = 0
( A2 ) x ( A4 ) x ( A5 ) = ( -2 ) x ( 5 ) x ( 0 ) = 0
( A3 ) x ( A4 ) x ( A5 ) = ( 3 ) x ( 5 ) x ( 0 ) = 0
Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado a compreender esta questão.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Banco do Brasil.
Um forte abraço e bons estudos.
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