(EsPCEx 2020) Sabendo-se que a equação 2x² + ay² - bxy - 4x + 8y +c = 0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a+b+c é igual a
(EsPCEx 2020) Sabendo-se que a equação 2x² + ay² - bxy - 4x + 8y +c = 0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a+b+c é igual a
[A] -10. [B] -6. [C] -2. [D] 2. [E] 6.
Solução: nesta questão vamos levar a equação dada para o formato geral da equação da circunferência que é(x - cx)² + ( y - cy)² = raio²
Onde (cx, cy) são as coordenadas do centro da circunferência.
O coeficiente b tem que valer 0, pois não existe na equação da circunferência componente do tipo b.x.y. Logo, b=0. Reorganizando:
2x² -4x + ay² + 8y = -c (vamos dividir tudo por 2)
x² -2x + (a/2)y² + 4y = -c/2
a/2 tem que valer 1 para termos uma equação de circunferência, logo a =2 e ficamos com:
x² -2x + y² + 4y = -c/2
Agora vamos montar os trinômios do quadrado perfeito:
x² -2x +1 + y² + 4y +4 = -c/2 +1 + 4
(x-1)² + (y +2)² = -c/2 + 5
(x-1)² + (y +2)² = [√(-c/2 + 5) ]²
O raio da circunferência vale 3 e é igual à raiz de (-c/2 + 5). Sendo assim:
√(-c/2 + 5) = 3
(-c/2 + 5) = 9
-c/2 = 4
-c = 8
c = -8
Finalmente, a+ b + c = 2 + 0 - 8 = -6 [ A alternativa correta é a letra B]
Um forte abraço e bons estudos.