(ENEM PPL 2019) Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.


Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11 cm de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total. 

Desconsidere a espessura da caixa. 

Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa? 

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Solução:  nesta questão de geometria espacial existem dois critérios para uma caixa ser aprovada de acordo com o enunciado:

1º) " a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda". Isto quer dizer que a esfera de raio 11cm, ou seja, diâmetro 22 cm, tem que caber na embalagem.  Sendo assim, basta que uma única das dimensões da caixa seja inferior a 22 cm para que este modelo seja eliminado.

2º) "e que possua a menor área de superfície total". De todos os modelos de caixas que forem aprovados no critério 1, ficaremos com a de menor área de superfície.

Cálculo da área da superfície lateral de um paralelepípedo reto retângulo é dada por:

AL = 2 . (C.L) + 2 . (C.A) + 2 . (L.A)
AL = 2 . [ (C.L) +  (C.A) + (L.A) ]



Analisando os modelos de caixa, teremos que descartar os modelos 1 e 2, pois a esfera não cabe dentro deles (critério 1º não foi atendido).


Agora, temos que buscar a menor área lateral dentre os modelos 3, 4 e 5.

AL(3) = 2 . [ (25.25) +  (25.25) +  (25.25) ]
AL(4) = 2 . [ (26.25) +  (26.24) +  (25.24) ] 
AL(5) = 2 . [ (23.26) +  (23.26) +  (26.26) ]

Repare que os números estão muito próximos para encontrarmos o menor deles numa análise visual, vamos tentar obter os seguintes valores:

25.24 = 
25.25 = 
25.26 = 

26.23 = 
26.24 = 
26.26 = 

Dica: calcule 25.25 e 26.26 e depois ajuste os demais.  Exemplo, 25.25 = 625, então 25.24 = 625 - 25 = 600.  Já o 25.26 = 625+25 = 650

25.24 = 600
25.25 = 625
25.26 = 650

26.23 = 598
26.24 = 624
26.26 = 676

Vamos tentar com estes valores encontrar a menor área lateral numa análise visual, economizando tempo de cálculo.

AL(3) = 2 . [ (625) +  (625) +  (625) ]
AL(4) = 2 . [ (650) +  (624) +  (600) ]
AL(5) = 2 . [ (598) +  (598) +  (676) ]

Comparando 3 e 4, quem é o menor?

> Repare que no elemento azul, AL(3) é (25 unidades menor), no elemento vermelho é (1 unidade maior) e no elemento preto é (25 unidades maior), ou seja, o AL(3) é maior que AL(4).  Então descartamos AL(3) e ficamos com o menor AL(4). Finalmente basta comparar quem é menor AL(4) ou AL(5).

> Repare que no elemento azul, AL(4) é (52 unidades maior), no elemento vermelho é (26 unidades maior) e no elemento preto é (76 unidades menor), ou seja, AL(4) é maior que AL(5).  Finalmente, podemos concluir que AL(5) tem a menor superfície lateral dentre os modelos que comportam a esfera sem que ela seja deformada, portanto, deve ser o modelo escolhido. [Alternativa correta é a letra E]

Curiosidade: se desenvolvermos os cálculos exatos para AL(3), AL(4) e AL(5) chegaremos nos seguintes valores.  Veja como eles são valores muito próximos:

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios sobre geometria espacial (volumes).

Um forte abraço e bons estudos.