(UNICAMP 2021) No plano cartesiano, considere a reta de equação x + 2y = 4, sendo 𝐴, 𝐵 os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵 é dada por

a) 2x - y = 3

b) 2x - y = 5

c) 2x + y = 3

d) 2x + y = 5

Solução:  questão de geometria analítica do Vestibular UNICAMP 2021 que aborda o conceito de equação da reta mediatriz, vamos resolvê-la de duas maneiras.

Desenhando a equação de reta (x+2y=4) no plano cartesiano encontraremos os pontos A = (0;2) e B = (4;0).




A equação da reta mediatriz é perpendicular ao segmento de reta AB e deverá passar pelo ponto médio do segmento AB.  O ponto médio de AB é dado por:

PM = [ (0+4)/2 ;  (2+0)/2  ]

PM = (2;1)

Se a equação da reta mediatriz é perpendicular à reta [ x + 2y = 4 ] então temos a seguinte relação.

(coeficiente angular da mediatriz) x (coeficiente angular da reta x + 2y = 4 ) =   -1

O coeficiente angular da reta x + 2y = 4 pode ser encontrado reorganizando esta equação da seguinte maneira:

2y = -x + 4

y = (-1/2)x + 2

O coeficiente angular vale (-1/2) , aplicando na fórmula:

m mediatriz x (-1/2) = -1

m mediatriz = 2

Agora é só aplicar na equação da reta, usando o ponto médio encontrado PM = (2;1) e m =2.

y - y0 = m (x-x0)

y - 1 = 2 ( x - 2)

y = 2x -4 +1

y = 2x-3 [alternativa correta é a letra A]

Um outro método de se encontrar a mediatriz do segmento AB, sendo os pontos A = (0;2) e B = (4;0) é por meio do seguinte raciocínio: a distância de qualquer ponto da mediatriz até os pontos A e B será sempre o mesmo. Desse modo, se pegarmos um ponto P(x,y) pertencente à mediatriz, teremos:

(distância de P até A) = (distância de P até B)

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos

 √[ (x-0)² + (y-2)² ] =  √[ (x-4)² + (y-0)² ] 

x² + y² - 4y + 4 = x² - 8x + 16 + y²

-4y+4 = -8x + 16

-4y = -8x + 12

(vamos dividir tudo por -4)

y = 2x -3

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Analítica com Questões de Vestibulares e Concursos.

Um forte abraço e bons estudos.