(UNICAMP 2021) No plano cartesiano, considere a reta de equação x + 2y = 4, sendo 𝐴, 𝐵 os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵 é dada por
a) 2x – y = 3
b) 2x – y = 5
c) 2x + y = 3
d) 2x + y = 5
Solução: questão de geometria analítica do Vestibular UNICAMP 2021 que aborda o conceito de equação da reta mediatriz de um segmento de reta, vamos resolvê-la de duas maneiras. Em primeiro lugar, vamos obter as coordenadas dos pontos A e B considerando que A é o ponto onde a reta (x + 2y = 4) intercepta o eixo y. Já o ponto B será o ponto de interseção dessa reta com o eixo x.
Para obter as coordenadas de A, aplicamos x = 0 na equação x + 2y = 4 e encontramos o valor de y.
0 + 2y = 4
2y = 4
y = 4/2
y = 2 ➡️ A = (0, 2)
Para obter as coordenadas de B, aplicamos y = 0 na equação x + 2y = 4 e encontramos o valor de x.
x + 2·0 = 4
x + 0 = 4
x = 4 ➡️ B = (4, 0)
A seguir, temos um esboço ilustrativo do gráfico da reta (x+2y=4) no plano cartesiano com esses dois pontos em destaque.
💡 A equação da reta mediatriz de 𝐴𝐵 é perpendicular a esse segmento e passa pelo ponto médio de 𝐴𝐵. A seguir, vamos encontrar o ponto médio (PM) do segmento 𝐴𝐵.
PM = ((xA+ xB)/2 , (yA + yB)/2)
PM = ((0 + 4)/2 , (2 + 0)/2)
PM = (2, 1)
Sejam:
m1 = coeficiente angular da reta de equação (x + 2y = 4);
m2 = coeficiente angular da equação da reta mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵.
Essa reta mediatriz é perpendicular à reta [ x + 2y = 4 ], portanto, podemos utilizar a seguinte relação:
m1 × m2 = –1
A seguir, vamos obter o coeficiente angular da reta de equação x + 2y = 4.
2y = –x + 4
y = (–1/2)x + 2
m1 = –1/2
Agora, vamos utilizar m1= –1/2 para obter m2.
(–1/2) × m2 = –1
m2 = 2
Ou seja, a equação da reta mediatriz do segmento de reta AB tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo ponto (2, 1) que é o ponto médio de A e B. Finalmente, vamos utilizar a equação fundamental da reta, com o ponto (x0, y0) = (2, 1) e o coeficiente angular m = 2.
y - y0 = m (x – x0)
y – 1 = 2 ( x – 2)
y = 2x – 4 + 1
y = 2x – 3 [alternativa correta é a letra A]
Essa é uma possibilidade de resolução, a seguir, vamos obter essa mesma equação de uma outra forma.
Como encontrar a equação da reta mediatriz de um segmento usando a fórmula da distância entre dois pontos
fórmula da distância entre dois pontos
(x1,y1) e (x2,y2) que é dada por:d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²
Também podemos encontrar a equação da reta mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵, com A = (0, 2) e B = (4, 0), utilizando o seguinte raciocínio: a distância de qualquer ponto da reta mediatriz até os pontos A e B é sempre o mesmo. Portanto, se pegarmos qualquer ponto P(x,y) pertencente à mediatriz, teremos:
(distância entre A e P) = (distância entre B e P)
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos
√(x – 0)² + (y – 2)² = √(x – 4)² + (y – 0)²
x² + y² – 4y + 4 = x² – 8x + 16 + y²
–4y + 4 = –8x + 16
–4y = –8x + 12
(Dividir os dois membros da equação por –4)
y = 2x – 3
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Analítica com Questões de Vestibulares e Concursos.
Um forte abraço e bons estudos.
