(UNICAMP 2021) No plano cartesiano, considere a reta de equação x + 2y = 4, sendo 𝐴, 𝐵 os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵 é dada por
(UNICAMP 2021) No plano cartesiano, considere a reta de equação x + 2y = 4, sendo 𝐴, 𝐵 os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta 𝐴𝐵 é dada por
a) 2x - y = 3
b) 2x - y = 5
c) 2x + y = 3
d) 2x + y = 5
Solução: questão de geometria analítica do Vestibular UNICAMP 2021 que aborda o conceito de equação da reta mediatriz, vamos resolvê-la de duas maneiras.
A equação da reta mediatriz é perpendicular ao segmento de reta AB e deverá passar pelo ponto médio do segmento AB. O ponto médio de AB é dado por:
PM = [ (0+4)/2 ; (2+0)/2 ]
PM = (2;1)
Se a equação da reta mediatriz é perpendicular à reta [ x + 2y = 4 ] então temos a seguinte relação.
(coeficiente angular da mediatriz) x (coeficiente angular da reta x + 2y = 4 ) = -1
O coeficiente angular da reta x + 2y = 4 pode ser encontrado reorganizando esta equação da seguinte maneira:
2y = -x + 4
y = (-1/2)x + 2
O coeficiente angular vale (-1/2) , aplicando na fórmula:
m mediatriz x (-1/2) = -1
m mediatriz = 2
Agora é só aplicar na equação da reta, usando o ponto médio encontrado PM = (2;1) e m =2.
y - y0 = m (x-x0)
y - 1 = 2 ( x - 2)
y = 2x -4 +1
y = 2x-3 [alternativa correta é a letra A]
Um outro método de se encontrar a mediatriz do segmento AB, sendo os pontos A = (0;2) e B = (4;0) é por meio do seguinte raciocínio: a distância de qualquer ponto da mediatriz até os pontos A e B será sempre o mesmo. Desse modo, se pegarmos um ponto P(x,y) pertencente à mediatriz, teremos:
(distância de P até A) = (distância de P até B)
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos
√[ (x-0)² + (y-2)² ] = √[ (x-4)² + (y-0)² ]
x² + y² - 4y + 4 = x² - 8x + 16 + y²
-4y+4 = -8x + 16
-4y = -8x + 12
(vamos dividir tudo por -4)
y = 2x -3
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Analítica com Questões de Vestibulares e Concursos.
Um forte abraço e bons estudos.
