(Colégio Naval 2020) Quantos são os valores distintos de n, para os quais 102 ≤ n ≤ 202, e n é a quantidade de lados de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta num quadrado perfeito?

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9

Solução: questão interessante do Colégio Naval 2020 que envolve geometria e a decomposição de um número em fatores primos.

Da geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de "n" lados é dada por (n-2).180º.


O quadrado por exemplo,  que tem 4 lados, tem soma de seus ângulos internos igual a 
(4-2).180° = 2 . 180°= 360°.

Já o triângulo tem 3 lados e a soma de seus ângulos internos vale (3-2).180° = 180°.


A decomposição de 180 em fatores primos é 180 = 2².3².5¹.  Ou seja, para termos um quadrado perfeito, devemos multiplicar o 180 sempre por números que após serem fatorados, tenham em sua composição uma base 5 elevada a número ímpar e as demais bases elevadas a números pares.

n-2 = 5ímpar .2 par . 3par . 7par .....

Vamos pensar nas combinações possíveis que resultam em quadrados perfeitos quando multiplicados por 180, estando "n" limitado a 102 ≤ n ≤ 202.

5¹.2² = 20  (n é inferior a 102)
5¹.3² = 45  (n é inferior a 102)
5¹.5² = 125   ( n = 125 + 2 = 127. ok.)
5¹.7² = 245  (n é superior a 202 e concluímos que temos que evitar bases 7)

5¹.2².3² = 5 . 4 . 9 = 180 (n = 180 + 2 = 182. ok.)

E paramos por aqui, pois as demais combinações (5¹.3².5² ou 5¹.2².5²) sempre serão bem superiores a 202.

Logo, só existem dois "n" possíveis que quando são aplicados na fórmula (n-2).180º resultam numa soma de ângulos internos que representa um quadrado perfeito, são eles: o número 125+2 = 127 e o 180+2 = 182.  Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões resolvidas do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.