(Colégio Pedro II - 2018 - Professor de Matemática) O problema a seguir explora uma ideia recorrente no estudo de processos de contagem:
Em um grupo de 3 professores e 8 estudantes, deseja-se formar comissões de 5 pessoas.
Quantas comissões podem ser formadas com pelo menos um professor?
Um estudante selecionou um dentre os três professores e, a seguir, quatro dentre as 10 pessoas
restantes. A resposta que apresentou foi 3. C10,4.
Na sua resolução, o estudante contou mais de uma vez algumas comissões.
Para chegarmos à solução correta do problema proposto com base na resposta desse estudante,
devemos subtrair do resultado apresentado por ele a expressão
(A) 2 ∙ C8,2 + C8,3.
(B) 3 ∙ C8,2 + C8,3.
(C) 3 ∙ C8,2 + 2 ∙ C8,3.
(D) 2 ∙ C8,2 + 3 ∙ C8,3.
Solução: questão bem interessante de análise combinatória do concurso de professor de matemática para o Colégio Pedro II no Rio de Janeiro. Podemos resolvê-la de diferentes maneiras, vamos adotar como estratégia de resolução seguir o comando da questão, ou seja, corrigir a resposta dada pelo estudante. É uma questão bem inteligente de análise combinatória que foge o padrão de questões sobre o tema e que, portanto, vale a pena fazermos uma análise mais criteriosa.
Nesta questão, temos que trabalhar com a fórmula das combinações:
C n,p = n! / p!(n-p)!
Vamos considerar que do grupo formado por 3 professores e 8 estudantes, os professores sejam: A, B e C.
Repare que o aluno encontrou 3 x C10,4, provavelmente ele fez o seguinte:
(Fixou A) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.
(Fixou B) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.
(Fixou C) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.
E encontrou um total de 3 . C10,4. Desse modo, ele realmente repetiu contagens, vamos encontrá-las passo a passo analisando os três blocos acima:
(Fixou A) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.
Até aqui tudo bem, ele sempre teve um professor no mínimo nas comissões, às vezes dois, às vezes três.
(Fixou B) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.
Aqui já aparecem as primeiras duplicações, são elas:
B e A e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas. C 8,3
A, B e C e uma combinação de 8 estudantes em 2 vagas. C 8,2
Ambas precisam ser excluídas, pois já foram contadas no bloco anterior. Vamos para o último bloco.
(Fixou C) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.
Aqui temos novas repetições:
C e A e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas. C 8,3
C e B e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas. C 8,3
A, B e C e uma combinação de 8 estudantes em 2 vagas. C 8,2
Temos que subtrair do resultado apresentado pelo estudante a seguinte expressão: 2.C8,2 + 3.C8,3. Alternativa correta é a letra d)
Temos uma outra forma de resolver essa questão, basta fazer o cálculo correto das comissões, depois subtrair a quantidade encontrada pelo aluno pela quantidade correta e finalmente confrontar com as opções de resposta. O aluno encontrou 3 . C10,4 = 3. 210 = 630 comissões.
Para calcularmos as comissões de 5 pessoas formadas por pelo menos um professor, temos os seguintes cenários:
1 Professor + 4 alunos = C3,1 x C8,4 = 3 x 70 = 210
2 Professores + 3 alunos = C3,2 x C8,3 = 3 x 56 = 168
3 Professores + 2 alunos = C3,3 x C8,2 = 1 x 28 = 28
Total = 210 + 168 + 28 = 406 comissões.
A diferença: 630 - 406 = 224 é a mesma quantidade fornecida pela opção d) 2.28 + 3.56 = 56 + 168 = 224.
Curiosidade: além desta última, há uma outra maneira de encontrar a quantidade de comissões formadas por pelo menos um professor. A ideia é calcular o seguinte:
(Comissões formadas por pelo menos um professor) + (Comissões sem os professores) = Total de comissões sem restrição
Logo,
Comissões formadas por pelo menos um professor = (Total de comissões sem restrição) - (Comissões sem os professores)
Comissões formadas por pelo menos um professor = C11,5 - C8,5 = 462 - 56 = 406.
0 Comentários