(ENEM 2020 Reaplicação) Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas:

(ENEM 2020 Reaplicação) Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas: 

     • Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm;
     • Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm;
     • Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm;
     • Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;
     • Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm. 

A mesa que atende aos critérios especificados é a

A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.

Solução: questão muito interessante de geometria do ENEM 2020 (Reaplicação/PPL) que envolve o cálculo de áreas de diferentes figuras geométricas. Repare que apenas a mesa 4 não comportará as seis pessoas com espaço mínimo de 60 cm para cada uma. As demais figuras geométricas comportam, veja:

• hexágono regular de lado medindo 60 cm = 6 lados de 60 cm (comporta);
• retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm (comporta);
• retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm (comporta);
• quadrado, com lados medindo 60 cm = 4 lados de 60 cm (não comporta);
• triângulo equilátero, são três lados de 120 cm (comporta).

Agora, vamos calcular suas áreas. Comparando as duas mesas retangulares,  mesa II contra mesa III, é perceptível que a área da mesa III será menor, então nem calcularemos a área da mesa II e já descartamos esta também.

A_III = 120 . 60 cm² 

A_III = 7200 cm²

Agora, vamos calcular a área do triângulo equilátero. Caso necessite fazer uma revisão, confira a figura a seguir, pois utilizaremos a fórmula destacada em vermelho:

A_V = (√3 . 120²) / 4

A_V = [ √3 . (2 . 60)² ] / 4

A_V = [ √3 . (2² . 60²) ] / 4

A_V = [ √3 . (4 . 3600) ] / 4

A_V = [ √3 . ( 3600) ]

Vamos aproximar √3 ≅ 1,7 neste cálculo e no próximo.

A_V ≅ [ 1,7 . ( 3600) ]

A_V ≅ 6120 cm²

Por último, temos que calcular a área do hexágono regular de lado 60 cm.  Destacamos agora um conceito importante: um hexágono regular de lado X, é formado por 6 triângulos equiláteros de lado X.  Perceba na ilustração a seguir:

Podemos concluir que a área do hexágono regular de lado X, é igual a 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado X. Logo, 

A_I = 6 x [ (√3 . 60²) / 4 ]

A_I = 6 x [ (√3 . 3600) / 4 ]

A_I = 6 x [ (√3 . 900)  ]

A_I = 5400 x √3

A_I ≅ 5400 x 1,7

A_I ≅ 9180 cm²

A menor área é a do triângulo equilátero ( A_V ). Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios sobre áreas de figuras planas.

Um forte abraço e bons estudos.