(UERJ 2019) Os triângulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.

(UERJ 2019) Os triângulos A₁B₁C₁,  A₂B₂C₂,  A₃B₃C₃, ilustrados abaixo, possuem perímetros p₁, p₂, p₃, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.

Admita que A1B1 = B1C1 = 7  e  A1C1 = 4.

Assim, (p₁, p₂, p₃) define a seguinte progressão:

(A) aritmética de razão = – 8
(B) aritmética de razão = – 6
(C) geométrica de razão = 1/2
(D) geométrica de razão = 1/4

Solução: questão de matemática muito rica do Vestibular UERJ 2019 onde utilizaremos vários conceitos importantes da matemática como semelhança de triângulos, triângulos isósceles, perímetro e, ao final, tentaremos identificar se os perímetros p₁, p₂, p₃ definem uma progressão geométrica ou aritmética e qual é sua razão.

Em primeiro lugar vamos registrar as informações do enunciado na figura a seguir:

O ponto central da questão está em torno dos triângulo isósceles, o primeiro deles, A1B1C1 possui dois lados iguais a 7 e outro igual a 4, ele é semelhante ao triângulo isósceles A2B1C2, obrigando o segmento A2C2 ser igual a 2, ilustramos novamente a figura com os triângulos semelhantes reforçados em azul:

Agora, repare a igualdade entre os triângulos A1B2C2 = B2C1A2 = A2B1C2, são todos eles triângulos isósceles de lados iguais valendo 3,5 e lado desigual valendo 2.  Isto porque são semelhantes ao maior de todos os triângulos isósceles que é o A1B1C1.  O ponto mais importante nessa questão é conseguir visualizar as semelhanças de triângulos a seguir:

Inserindo todas as medidas na figura, chegaremos às medidas 1 e 1,75 para o triângulo isósceles A3B3C3 e teremos o seguinte resultado final:

Agora podemos calcular os perímetros:

p1 = 4 + 7 + 7 = 18

p2 = 2 + 3,5 + 3,5 = 9

p3 = 1 + 1,75 + 1,75 = 4,5

Por último, precisamos saber se estamos diante de uma progressão aritmética ou progressão geométrica e qual é a sua razão?  Visualmente dá para perceber que é uma PG, pois os valores estão decaindo à metade, logo é uma PG de razão 1/2.  Mesmo assim, vamos  realizar os cálculos e testar primeiro se é uma PA ou uma PG.

>> Caso precise revisar as fórmulas de PA e PG entre por aqui.

Testando se p1, p2 e p3 formam PA.

p2 - p1 = p3 - p2 = R

9 - 18 = 4,5 - 9

-9 = -4,5  [ Falso ]

Testando se p1, p2 e p3 formam PG.

p2/p1 = p3/p2 = R

9/18 = 4,5/9

1/2 = 1/2  [ Verdadeiro]

Finalmente, podemos concluir que p1, p2 e p3 formam uma PG de razão 1/2. 

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos sobre os triângulos equilátero, isósceles e escaleno.

Um forte abraço e bons estudos.