(Banco do Brasil - 2018 - Escriturário - Banca: Cesgranrio) Em um jogo, os jogadores escolhem três números inteiros diferentes, de 1 a 10. Dois números são sorteados e se ambos estiverem entre os três números escolhidos por um jogador, então ele ganha um prêmio. O sorteio é feito utilizando-se uma urna com 10 bolas numeradas, de 1 até 10, e consiste na retirada de duas bolas da urna, de uma só vez, seguida da leitura em voz alta dos números nelas presentes. 

Qual é a probabilidade de um jogador ganhar um prêmio no sorteio do jogo?

a) 1/90   b) 1/30   c) 1/5   d) 1/15   e) 1/20


Solução: nesta questão de Probabilidade do Concurso de 2018 do Banco do Brasil, cargo: Escriturário, Banca examinadora: Cesganrio, utilizaremos a fórmula P=E/U, onde:

E = quantidade de elementos no conjunto evento esperado;
U = quantidade de elementos no conjunto universo (espaço amostral).

Nesta questão, trabalharemos com a fórmula das combinações:

C n,p = n! / p!(n-p)!

>>> Cálculo de U

Existem C 10,3 combinações possíveis para as escolhas feitas por um jogador e existem C 10,2 combinações possíveis para o sorteio das urnas. Logo, U = C 10,3 x C 10,2

>>> Cálculo de E

Existem C 10,3 combinações possíveis para as escolhas feitas por um jogador e para cada uma escolha feita pelo jogador, existem C 3,2 combinações na urna que o tornarão ganhador do sorteio.  Veja um exemplo:

O jogador escolheu as bolas {1, 2, 3} e o resultado do sorteio foi: {1,2} ou {1,3} ou {2,3}.

Então, temos que E = C 10,3 x C 3,2

>>> Cálculo de P

P = E/U
P = ( C 10,3 x C 3,2 ) / ( C 10,3 x C 10,2 )
P = ( C 10,33 ) / ( C 10,3 x 45 )
P = 3/45
P = 1/15

Alternativa correta é a letra d).

Uma outra forma de resolver este problema, seria você calcular a probabilidade de o jogador acertar a escolha da primeira bola e novamente acertar a escolha da segunda bola.   Embora o enunciado diga que as bolas são retiradas juntas, podemos calcular como se houvesse uma primeira retirada (de um total de 10 bolas) e depois uma segunda retirada (de um total de 9 bolas, obviamente excluindo a primeira que já saiu).

Então, o jogador precisa na 1ª e 2ª retirada: ACERTAR  E  ACERTAR.

Probabilidade (ACERTAR na 1ª) = Evento / Universo = 3 / 10

Probabilidade (ACERTAR na 2ª) = Evento / Universo = 2 / 9

Novamente, basta imaginar, por exemplo, que ele escolheu as bolas {1,2,3}

No primeiro sorteio, a probabilidade de acertar vale 3/10  e no segundo só terá outros 2 números para acertar as 9 bolas que ainda podem sair.  Finalmente, basta multiplicarmos as duas probabilidades, pois o jogador precisa acertar "e" acertar.  Esse "e" vale como uma multiplicação.

3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática sobre probabilidade.

Um forte abraço e bons estudos.