(Banco do Brasil - 2018 - Escriturário - Banca: Cesgranrio) Há dez anos a média das idades, em anos completos, de um grupo de 526 pessoas era de 30 anos, com desvio padrão de 8 anos.

Considerando-se que todas as pessoas desse grupo estão vivas, o quociente entre o desvio padrão e a média das idades, em anos completos, hoje, é 

(A) 0,45 (B) 0,42 (C) 0,20 (D) 0,27 (E) 0,34


Solução: questão de Estatística Básica do Concurso de 2018 do Banco do Brasil, cargo: Escriturário, Banca examinadora: Cesganrio, que aborda a fórmula da média aritmética e do desvio padrão.

Uma revisão teórica e prática de média e desvio padrão com exemplos.


Média aritmética:  (M)

M = S / N

S é o somatório de todos os elementos e N é a quantidade de elementos.

Um exemplo prático: calcular a média aritmética de 2, 6, 6, 10.

M = (2+6+6+10)/4
M = 24/4
M = 6

Desvio padrão:  (d)

d =  [  ( ∑ ( xi - M )² )  /  N  ]   ;  com i variando de 1 até N.

A grosso modo, no cálculo do desvio padrão, você pegará todos os N elementos e, um a um,  irá subtrair cada um deles da média M. Cada valor encontrado será elevado ao quadrado.  Todos esses quadrados serão somados e o resultado será dividido por N.  A raiz desse quociente é o desvio padrão.  

Um exemplo prático: calcular o desvio padrão de 2, 6, 6, 10.

A primeira coisa é calcular a média e já fizemos isso, ela vale M=6.

Agora calcularemos o somatório de (xi - M)² para todos os quatro elementos.

(2-6)² + (6-6)² + (6-6)² + (10-6)²
(-4)² + 0² + 0² + 4²
16 + 0 + 0 + 16
32

Dividimos 32 por 4 e o resultado será 8 e, finalmente, o desvio padrão: d = √8.

Uma vez compreendida a sistemática de cálculo da média e do desvio padrão, vamos para questão.


Repare que N sempre será igual a 526 pessoas e chamaremos de M0 e M1, respectivamente, a média de idade de 10 anos atrás e a média de hoje. O mesmo raciocínio para d0 e d1, ou seja, respectivamente desvio padrão referente a 10 anos atrás e o desvio padrão de hoje.

M0 = S0 / 526    (sendo S0 o somatório de idades 10 anos atrás)

Do enunciado:  M0 vale 30 anos.

Passados 10 anos, o somatório S0 será acrescido de mais 526 x 10 anos, que é igual a 5260 anos.   Basta pensar que cada pessoa ganhou mais 10 anos e temos 526 pessoas. Então, 

M1 = (S0 + 5260) / 526
M1 = S0 / 526 + 5260/526
M1 = M0 + 10   
Sabemos que M0 vale 30 anos, logo tranquilo visualizar que M1 será igual a 40 anos:

M1 = 30 + 10
M1 = 40 anos


Agora, vamos refletir sobre o desvio padrão.  A média cresceu 10 anos e a idade de todas as 526 pessoas também, tranquilo visualizar que o desvio padrão continuou o mesmo?  Ou seja, d0 = d1.

Pense em uma pessoa que tinha 10 anos quando a média era 30 anos.

Naquele somatório do desvio padrão tínhamos  (10-30)² = (-20)² = + 400 que era, digamos assim, a contribuição dessa pessoa no cálculo do desvio padrão.

Quando ela passou a ter 20 anos a média subiu para 40 anos, então, no somatório, passou a ser: (20-40)² = (-20)² = + 400.  Continuou o mesmo.  Na prática, todos aqueles  (xi - M)²  estão valendo a mesma coisa, como a quantidade de pessoas também está fixa em N = 526 então o d1 = d0 = 8.

Finalmente,  basta aplicar o comando da questão: o quociente entre o desvio padrão e a média das idades, em anos completos, hoje, é igual a: 

 d1/M1 = 8/40 = 0,20.  Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:  uma vez que os conceitos de média aritmética e desvio padrão estão compreendidos, essa questão acaba sendo bem tranquila.  Fica fácil visualizar que a média irá pular de 30 anos para 40 anos, não é mesmo?  Afinal, o somatório das idades irá ganhar 526 x 10 = 5260 anos a mais. Quando eles forem divididos por 526, teremos 10 anos a mais na média. 

Quanto ao desvio padrão, também é tranquilo visualizar que ele continuará sendo o mesmo, conforme vimos acima. Então, basta fazer a conta 8/40 = 0,20.

Aproveite e continue praticando com uma lista que contém mais Exercícios Resolvidos de Estatística Básica.

Um forte abraço e bons estudos.