(Colégio Naval 2021) O MDC (10^35 - 1 ; 10^40 - 1) vale:

(Colégio Naval 2021) O MDC (10³⁵ - 1 ; 10⁴⁰ - 1) vale:

a) 99999
b) 9999
c) 999
d) 99
e) 9

---

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2021). Prova aplicada no dia 02/10/2021.

Questão muito interessante sobre MDC, onde utilizaremos o máximo divisor comum de polinômios.  Como estes números são enormes, vamos tentar convertê-los em polinômios para que possamos melhor manuseá-los.

Repare que o MDC entre 40 e 35 vale 5.

Caso precise, veja neste artigo: como calcular o MMC e o MDC entre dois ou mais números.

Como o MDC entre 40 e 35 vale 5, então:

10³⁵ = 10⁵. 10⁵ . 10⁵ . 10⁵  . 10⁵  . 10⁵  . 10⁵    (7 vezes)

10⁴⁰ = 10⁵. 10⁵ . 10⁵ . 10⁵  . 10⁵  . 10⁵  . 10⁵ . 10⁵   (8 vezes)

Podemos substituir ( x = 10⁵ )  e teremos 10³⁵  = x⁷  e  10⁴⁰ =  x⁸.

Com isso, nosso objetivo passa ser calcular o MDC (x⁷ - 1 ; x⁸ - 1) 

Para calcular o MDC destes polinômios, procederemos de forma similar quanto ao cálculo de MDC para números, vamos tentar decompor estes polinômios e identificar fatores em comum.

>>>>   Decompondo x⁷ -1

Repare que (x=1) é raiz desse polinômio, logo podemos dividi-lo por x-1 e teremos resto igual a 0.

Ao dividir ( x⁷ - 1) / (x-1) teremos como resultado (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)

>>Se necessário, faça uma revisão aqui sobre como fazer a divisão de polinômios - passo a passo.

Logo,  x⁷ - 1 = (x-1) . (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)

>>>>   Decompondo x⁸ - 1

Repare que (x=1) é raiz desse polinômio, logo podemos dividi-lo por x-1 e teremos resto igual a 0.  Isso já nos dá um forte indício de que o MDC entre os dois polinômios será (x-1), mas vamos decompor  x⁸ -1 também. 

Neste polinômio, podemos usar produtos notáveis, no caso (a² - b²) = (a+b)(a-b)

x⁸ - 1 = (x⁴ - 1) (x⁴ + 1)

Aplicamos o mesmo raciocínio.....

x⁸ - 1 = (x² - 1) (x² + 1)  (x⁴ + 1)

Aplicamos o mesmo raciocínio.....

x⁸ - 1 = (x - 1) (x + 1) (x² + 1)  (x⁴ + 1)

Analisando a decomposição dos dois polinômios, podemos perceber que o MDC entre eles será o (x-1), repare a seguir:

x⁷ - 1 = (x - 1) . (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)

x⁸ - 1 = (x - 1) . (x + 1) . (x² + 1) . (x⁴ + 1)

Como x vale 10⁵ , então (x - 1)  = (10⁵  - 1) = 99999

 
Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.