(Colégio Naval 2021) O MDC (10^35 - 1 ; 10^40 - 1) vale:

(Colégio Naval 2021) O MDC (10³⁵ - 1 ; 10⁴⁰ - 1) vale:

a) 99999
b) 9999
c) 999
d) 99
e) 9

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Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2021). Prova aplicada no dia 02/10/2021.

Com os números 10, 35 e 40, é possível usar a seguinte propriedade:

MDC(n^a – 1 ; n^b – 1) = n^MDC(a;b) – 1

Saiba mais em: https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor
Acesso realizado em 19/09/2025.

MDC(10³⁵ – 1 ; 10⁴⁰ – 1) = 10^MDC(35;40) – 1

Cálculo do MDC (35,40): vamos decompor 35 e 40 em fatores primos.

35 = 5 × 7
40 = 5 × 2 × 2 × 2

MDC (35,40) = 5

MDC(10³⁵ – 1 ; 10⁴⁰ – 1) = 10^MDC(35;40) – 1
MDC(10³⁵ – 1 ; 10⁴⁰ – 1) = 10⁵ – 1
MDC(10³⁵ – 1 ; 10⁴⁰ – 1) = 100.000 – 1
MDC(10³⁵ – 1 ; 10⁴⁰ – 1) = 99.999

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade: já sabemos que o MDC(35;40) = 5, vamos substituir 10⁵ por x.

• 10³⁵ – 1 = (10⁵)⁷ – 1 = x⁷ – 1
• 10⁴⁰ – 1 = (10⁵)⁸ – 1 = x⁸ – 1

Fatorando esses dois polinômios:

x⁷ – 1 = (x – 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)
x⁸ – 1 = (x⁴ + 1)(x² + 1)(x + 1)(x – 1)

MDC (x⁷ – 1; x⁸ – 1 ) = x – 1

Substituindo x = 10⁵

x – 1 = 10⁵ – 1 = 99.999

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.