(Colégio Naval 2021) O MDC (1035 - 1 ; 1040 - 1) vale:

a) 99999
b) 9999
c) 999
d) 99
e) 9

Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2021). Prova aplicada no dia 02/10/2021.

Questão muito interessante sobre MDC, onde utilizaremos o máximo divisor comum de polinômios.  Como estes números são enormes, vamos tentar convertê-los em polinômios para que possamos melhor manuseá-los.

Repare que o MDC entre 40 e 35 vale 5.


Como o MDC entre 40 e 35 vale 5, então:

1035 = 105. 105 . 105 . 105  . 105  . 105  . 105    (7 vezes)
1040 = 105. 105 . 105 . 105  . 105  . 105  . 105 . 105   (8 vezes)

Podemos substituir ( x = 105 )  e teremos 1035  = x7  e  1040 =  x8.

Com isso, nosso objetivo passa ser calcular o MDC (x7 - 1 ; x8 - 1) 

Para calcular o MDC destes polinômios, procederemos de forma similar quanto ao cálculo de MDC para números, vamos tentar decompor estes polinômios e identificar fatores em comum.

>>>>   Decompondo x7 -1

Repare que (x=1) é raiz desse polinômio, logo podemos dividi-lo por x-1 e teremos resto igual a 0.

Ao dividir ( x7 - 1) / (x-1) teremos como resultado (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

>>Se necessário, faça uma revisão aqui sobre como fazer a divisão de polinômios - passo a passo.

Logo,  x7 - 1 = (x-1) . (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

>>>>   Decompondo x8 - 1

Repare que (x=1) é raiz desse polinômio, logo podemos dividi-lo por x-1 e teremos resto igual a 0.  Isso já nos dá um forte indício de que o MDC entre os dois polinômios será (x-1), mas vamos decompor  x8 -1 também. 

Neste polinômio, podemos usar produtos notáveis, no caso (a² - b²) = (a+b)(a-b)

x8 - 1 = (x4 - 1) (x4 + 1)

Aplicamos o mesmo raciocínio.....

x8 - 1 = (x2 - 1) (x2 + 1)  (x4 + 1)

Aplicamos o mesmo raciocínio.....

x8 - 1 = (x - 1) (x + 1) (x2 + 1)  (x4 + 1)

Analisando a decomposição dos dois polinômios, podemos perceber que o MDC entre eles será o (x-1), repare a seguir:

x7 - 1 = (x - 1) . (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
x8 - 1 = (x - 1) . (x + 1) . (x2 + 1) . (x4 + 1)

Como x vale 105 , então (x - 1)  = (105  - 1) = 99999
 
Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.