(EsPCEx 2021) Dado o sistema linear


os valores do número real a , tais que o sistema linear acima tenha solução, pertencem ao conjunto

[A] (−∞,−1] .
[B] (−1 ,4 ] .
[C] (4 ,8 ] .
[D] (8,11 ] .
[E] (11,+∞) . 


Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Repare inicialmente que o determinante dos coeficientes Δ vale 0, pois essa matriz possui duas colunas iguais.

1 1 1
1 2 1
2 3 2

Caso precise, pode fazer uma revisão neste artigo sobre como calcular o determinante de uma matriz 3x3 pela Regra de Sarrus.

Da disciplina discussão de sistemas lineares, sabemos que:

SPD  "admite solução única"   (Δ ≠ 0)
SPI   "admite infinitas soluções" (Δ = Δx = Δy = Δz = 0)
S.I. "não admite solução" (Δ=0 e pelo menos um deles Δx≠0 ou Δy ≠0 ou Δz ≠0)

Leia-se:  SPD - sistema possível e determinado.  SPI - sistema possível e indeterminado.  SI - sistema impossível.

Como o objetivo da questão é que o sistema tenha solução e já sabemos que Δ = 0, então temos que forçar (Δ = Δx = Δy = Δz = 0) encontrando os respectivos valores para a.

>> Cálculo de Δx

a    1  1
2a  2  1
a²   3  2

Calculando o determinante, teremos 

Δx = -a² + 3a = 0
a ( -a + 3) = 0 
a = 0  
-a+3 = 0
a = 3

Note que Δx = 0 quando a = 0 ou a = 3.

>> Cálculo de Δy

1  a    1
1  2a  1
2  a²   2

Repare que independentemente dos valores de a, Δy = 0, pois possui as colunas 1 e 3 idênticas, assim como visto no cálculo inicial de Δ.

>> Cálculo de Δz

1  1  a
1  2  2a
2  3  a²

Calculando o determinante, teremos 

Δz = a² - 3a = 0
a ( a - 3 ) = 0
a = 0
a - 3 = 0
a = 3

Note que Δz = 0 quando a = 0 ou a = 3.

Então, para que o sistema linear dado tenha solução, os valores de a devem ser 0 ou 3.  Estes dois valores pertencem ao conjunto fornecido na letra [B] (−1 ,4 ] .

 Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.