(ESA 2022) A expressão que fornece o número de anagramas da palavra SARGENTO, onde as vogais aparecem em ordem alfabética, é:

a) 8!-5!
       3!

b) 8! 
     3! 

c) 8!

d) 8!-3!
       5!

e) 8! - 3!

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021.

Uma questão muito interessante de análise combinatória, vamos resolvê-la passo a passo.  Podemos notar que a palavra SARGENTO possui três vogais diferentes {AEO} e 5 consoantes diferentes {SRGNT}.  Na construção dos anagramas, as vogais precisam estar na ordem alfabética, já para as consoantes, uma ordem não é necessária. 

Em primeiro lugar vamos calcular de quantas maneiras diferentes podemos posicionar as 3 vogais (representadas por V) e as 5 consoantes (representadas por C).   

Vejamos alguns exemplos de formatos possíveis:

V V V C C C C C
V V C V C C C C
C C C C C V V V
( ... dentre outros)

Com os exemplos acima, podemos visualizar que existem vários formatos para dispor as 3 vogais e as 5 consoantes.  Nós podemos, por exemplo, colocar: 
  • 3 vogais e logo depois 5 consoantes; ou
  • 2 vogais, 1 consoante, 1 vogal e 4 consoantes; 
  • Dentre várias outras formações possíveis.
Podemos encontrar essa quantidade de formatos calculando a permutação com repetição, note que temos 8 elementos, sendo 3 vogais e 5 consoantes, logo a permutação com repetição é dada por:

P8(3,5) =    8!   
                    3!5!

Este número,  representa a quantidade de formatos em que podemos dispor as 3 vogais e as 5 consoantes na hora de formar os anagramas.

Agora, dentro de cada um desses formatos, quantos anagramas diferentes podemos construir?  

Note que para as três vogais só existe um único caso {AEO}, pois as vogais precisam estar em ordem alfabética.  

Já para as 5 consoantes {SRGNT}, todas distintas, a quantidade de anagramas é dada pela fórmula da permutação simples de 5 elementos, ou seja, é igual a P5 =  5!

Isto quer dizer que para cada formato, existem  1 x 5!   = 5! anagramas.

Finalmente, para encontrar a quantidade de anagramas da palavra SARGENTO, onde as vogais aparecem em ordem alfabética, vamos multiplicar:

  8!    x   5!
3!5!

  8!    x   5!
3!5!

 8! 
 3! 
 
Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.