(FAMEMA 2022) A figura a seguir mostra uma parte de uma circunferência, uma corda AB e um segmento CD perpendicular a AB.

Sabe-se que AD = 4, DB = 6 e CD = 2. 

O raio dessa circunferência mede

a) √42.
b) √46.
c) √50.
d) √54.
d) √58.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021.

Uma questão de geometria plana muito interessante que aborda a potência de pontos em relação a uma circunferência.  Primeiramente, vamos prolongar o segmento CD até o ponto C'.


Podemos encontrar o comprimento x por meio da relação:

AD . DB = CD . DC'
4 . 6 = 2 . x
24 = 2x
x = 12

Perceba que a corda AB mede 4 + 6 = 10.  Já a corda CC' mede 2 + 12 = 14.

Agora, o que nós vamos fazer na figura a seguir é colocar dois diâmetros (na cor verde) que sejam perpendiculares as cordas AB e CC' respectivamente.


Fizemos isso porque o diâmetro perpendicular a uma corda irá dividi-la ao meio.  Note como o diâmetro XY dividiu no ponto H a corda AB em duas partes de valor igual a 5.  Além disso, o diâmetro EF dividiu no ponto M a corda CC' em duas partes de valor igual a 7.

Finalmente, podemos encontrar o raio (R) por meio das cordas AB e XY que se cruzam no ponto H.

HY . HX = AH . HB
(R+5) . (R-5) = 5 . 5
R² - 5² = 25
R² - 25 = 25
R² = 25 + 25
R² = 50
R = √50
 
Alternativa correta é a letra c).

Também podemos encontrar o raio (R) aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OHB.


R² = 5² + 5²
R² = 25 + 25
R² = 50
R = √50

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMEMA.

Um forte abraço e bons estudos.