(FAMEMA 2022) Hugo deseja pintar as faces de um tetraedro regular com uma face de cada cor, todas diferentes, e possui tintas de 8 cores diferentes. 

O número de maneiras que esse tetraedro pode ser pintado é 

(A) 64. (B) 70. (C) 140. (D) 210 (E) 420.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021.

Uma questão muito interessante elaborada pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) de análise combinatória onde utilizaremos a fórmula da combinação e da permutação circular, além de exigir do candidato algumas noções de sólidos geométricos (tetraedro regular).

O tetraedro regular é, a grosso modo, uma pirâmide de base triangular onde todas as suas 4 faces são triângulos equiláteros.




Primeiramente, vamos calcular o seguinte, temos um conjunto de 8 cores, por exemplo:

{azul, branco, amarelo, preto, verde, roxo, vermelho, rosa}

Queremos saber quantos grupos de 4 cores podemos formar a partir dessas 8 cores, sem importar a ordem.  E como a ordem não importa, então a combinação { verde, amarelo, azul e vermelho}  é a mesma combinação da { amarelo, verde, azul e vermelho} e contamos uma única vez.     

Para este tipo de situação, usamos a fórmula da combinação.  

C n,p = n! / p!(n-p)!

Fazemos então uma C 8,4 = 8!/4!4! =  70.

Até aqui, temos uma conclusão: já sabemos que de 8 cores iniciais, nós podemos selecionar 70 combinações de grupos de 4 cores.

Agora, temos que nos perguntar o seguinte:  uma vez que eu tenho um grupo de 4 cores selecionadas e quero pintar as 4 faces de um tetraedro regular, de quantas maneiras diferentes eu posso fazer isso?  Apenas 1 maneira?  De 2 maneiras?  De 3 maneiras? De quantas maneiras?

Vamos verificar e concluir juntos que são 2 maneiras possíveis e veremos que temos que multiplicar o 70 por 2 para encontrarmos o resultado final.  Para tanto, vamos recorrer a permutação circular.

Re-lembrando: a fórmula da permutação circular de n elementos, PCn = n!/n =  (n-1)!

Vamos continuar a resolução por meio do exemplo com as 4 cores {verde, amarelo, azul e vermelho}.

O que vamos fazer é fixar a cor verde na "suposta base" do tetraedro e deixar as outras 3 cores {amarelo, azul e vermelho} "girarem" nas "três faces superiores" do tetraedro.  Repare na figura a seguir, por meio de uma vista superior do tetraedro regular, que uma vez fixado o verde na base (oculto na figura), então só temos 2 maneiras de posicionarmos as outras 3 cores.  Isto porque nós temos nas "três faces superiores" uma permutação circular de 3 elementos.


Note que o que importa neste caso é a posição relativa dos objetos. 

Sendo assim, ao fixarmos uma cor na "base" e aplicarmos 3 cores distintas nas 3 "faces superiores", o número de permutações circulares PC3 = (3-1)! = 2! = 2.

Finalmente, basta multiplicar 70 x 2 = 140.
 
Alternativa correta é a letra c).

O Vestibular FAMEMA 2022 foi elaborado pela FGV e a prova teve questões muito interessantes. Aproveite e continue praticando por aqui com uma lista de questões anteriores da FAMEMA.

Um forte abraço e bons estudos.