(VUNESP 2022) O quadrado PADU tem lado de medida 2 cm. A partir de M, que é ponto médio de DA, forma-se um novo quadrado, MENU, como mostra a figura.

(VUNESP 2022) O quadrado PADU tem lado de medida 2 cm. A partir de M, que é ponto médio de DA, forma-se um novo quadrado, MENU, como mostra a figura.

Nessa figura, a área do pentágono não convexo UNESP é igual a 

(A) 2,50 cm² .
(B) 3,00 cm² .
(C) 2,75 cm² .
(D) 3,25 cm² .
(E) 2,25 cm² .

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Solução: questão de matemática do Vestibular da UNESP 2022 (Cursos da Área de Biológicas), prova do dia 14/11/2021.

Uma questão muito interessante de geometria plana. Inicialmente, vamos encontrar a medida do lado do novo quadrado MENU aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo MDU.

MU² = MD² + DU²

MU² = 1² + 2²

MU² = 1 + 4

MU² = 5

MU = √5  cm

Agora, vamos ilustrar a figura com algumas informações importantes para seguirmos nesta resolução:

Para calcularmos a área de UNESP vamos calcular a área de MENU menos a área A3.

Sabemos que A3 é igual a área do quadrado PADU menos A1 e menos A2.

A3 = PADU - A1 - A2.

Vamos calcular A1 e A2.  Lembre-se: área do triângulo é igual a base vezes altura dividido por 2. 

A1 = (1 . 2) /2 = 2/2 = 1 cm²

A2 = (1 . y) /2 = y/2

** Quanto vale y?  Repare que estão ilustrados dois ângulos a e b cuja soma deles vale 90º.  Repare que podemos descobrir a tangente de a no triângulo retângulo MDU.

tg a = cateto oposto / cateto adjacente

tg a = 1 / 2

No triângulo retângulo MAS, temos que

tg a = cateto oposto / cateto adjacente

tg a = y/1

tg a = y

E igualamos com tg a = 1 / 2

tg a = y = 1/2

y = 1/2

*** O valor de y também pode ser encontrado por meio da semelhança entre os triângulos MDU e MAS. DU/AM = MD/AS 2/1 = 1/y 2y = 1 y = 1/2

Sendo assim, A2 = y/2 = (1/2)/2 = (1/2) x (1/2) = 1/4 = 0,25 cm²

Agora, vamos calcular A3.

A3 = PADU - A1 - A2.

A3 = 2² - 1 - 0,25

A3 = 4 - 1,25

A3 = 2,75 cm²

E finalmente, para calcularmos a área de UNESP vamos calcular a área de MENU menos A3.

área de UNESP = (√5)² - 2,75 = 5 - 2,75 = 2,25 cm².

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Vestibular da UNESP.

Um forte abraço e bons estudos.