(UERJ 2022) A figura a seguir representa um quadrado ABCD de lado igual a 5 cm. Nele, observa-se o quadrado AEFG, cujo lado mede x cm, sendo 0 < x < 5.

A área máxima que o retângulo DGFH pode assumir, em cm2 , é igual a:

(A) 5,75 (B) 6,25 (C) 7,45 (D) 8,15


Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2022, prova do dia 20/03/2022.

Para resolvermos essa questão sobre maximização de áreas, utilizaremos as coordenadas do vértice da parábola.  Repare que a área do retângulo A(x) é igual ao produto entre (x) e (5-x).


A(x) = x . (5-x)
A(x) = 5x - x²

Agora, nosso objetivo é maximizar essa função do segundo grau.  Esse tipo de exercício envolve as coordenadas do vértice da parábola.  Perceba que A(x) = 5x - x² tem o gráfico de uma função do segundo grau, ou seja, o gráfico de uma parábola e que possui concavidade voltada para baixo, isto porque seu coeficiente "a" é negativo (a = -1), então a parábola fica com um formato de ∩.  Portanto, esta parábola terá um ponto de máximo, exatamente sobre seu vértice. Veja na ilustração a seguir de uma parábola qualquer com concavidade voltada para baixo (não necessariamente idêntica a A(x) desta questão):


fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola

As fórmulas das coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv) são:

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a  onde   Δ = b² - 4ac

Nesta questão, nos interessa encontrar apenas o Yv, pois o requisito do enunciado é: "a área máxima que o retângulo DGFH pode assumir, em cm2".  Sendo assim, A(x) máximo será o Yv.

Yv = -(b² - 4ac)/4a
Yv = -[5² - 4(-1)(0)]/4(-1)
Yv = -[25 - 0]/-4
Yv = -25/-4
Yv = 6,25

Podemos concluir que a área máxima que o retângulo DGFH pode assumir é igual a 6,25 cm².

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.