(EPCAR 2021) Considere todos os trapézios que podem ser formados com as medidas de base maior, base menor e altura iguais a 4c , 4 e (- 2c + 40) , respectivamente, em uma mesma unidade de medida, sendo c um número real, de modo que o trapézio exista. 

As áreas dos trapézios estão em função de c. De todos os trapézios que podem ser formados, apenas um tem a maior área A. 

O valor de A, em unidade de área, é igual a 

a) 441 b) 220,5 c) 110,25 d) 882

Solução: questão muito interessante de matemática da EPCAR 2021, onde trabalharemos com a fórmula da área do trapézio e a maximização de funções do segundo grau, utilizando as coordenadas do vértice da parábola.

Em primeiro lugar, para o trapézio existir, as suas medidas devem ser maiores do que 0.

A base menor vale 4 que é maior do que 0 (aqui tudo ok).

A base maior vale 4c e a base menor vale 4.  Isto quer dizer que

4c > 4
c > 1

A altura tem que ser maior do que 0, logo:
- 2c + 40 > 0
- 2c >  - 40
2c <  40
c < 40/2
c < 20

Note que há uma restrição importante para os valores de c, é necessário que 1 < c < 20.

Na etapa de maximização, temos que estar atentos a esta restrição.

Sabemos que a área do trapézio (A) é dada pela fórmula.

A = [ (Base Maior + base menor) x altura ]  / 2
A = [ (4c + 4) x (-2c + 40) ]  / 2
A = [ -8c² + 160c - 8c + 160 ]  / 2
A = [ -8c² + 152c + 160 ]  / 2
A = -4c² + 76c + 80

Perceba que as diferentes áreas dos trapézios em função de c, formam uma parábola com concavidade voltada para baixo, isto porque seu coeficiente (a = -4) é negativo, com isso a parábola fica com o formato de ∩ e terá um ponto de máximo exatamente no vértice da parábola.

O que nós vamos fazer agora é o seguinte:  vamos obter a abscissa do vértice da parábola cuja fórmula é (Xv = -b/2a)  e vamos verificar se este valor está limitado entre 1 < c < 20.

Xv = -76 / 2 . (-4)
Xv = -76 / -8
Xv = 9,5

Repare que este valor para c está limitado entre 1 e 20, ou seja, está dentro da restrição. Além disso, é o valor de ( c = 9,5 ) que irá proporcionar o trapézio de maior área.  Logo, podemos encontrar essa área máxima aplicando ( c = 9,5 ) na função de A.

A = -4c² + 76c + 80
Amáx  = -4 . (9,5)² + 76 (9,5) + 80
Amáx  = -4 . 90,25 + 722 + 80
Amáx  = - 361 + 722 + 80
Amáx  = - 361 + 802
Amáx  = 441

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.