(EPCAR 2023) Um triângulo possui dois lados de medidas ℓ e (22 − ℓ), ambos em cm, e medida do ângulo interno formado por esses dois lados igual a 30°.

Considere S(ℓ) a expressão da área de todos os possíveis triângulos com as medidas citadas. 

Entre esses triângulos, há um cuja área é a maior possível. 

O valor dessa área, em cm² , é igual a 

a) 30 b) 30,25 c) 60 d) 60,5

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022).

Uma questão bem interessante de geometria plana, envolvendo também a maximização de uma função do segundo grau.  Esse tema tem se tornado recorrente nos últimos anos em vestibulares e concursos.

Podemos calcular a área de um triângulo qualquer se soubermos a medida de dois de seus lados e o ângulo entre eles usando a fórmula a seguir:  

Área = Lado1 x Lado2 x sen θ
                               2

Com esta fórmula, podemos obter uma expressão para S(ℓ). 

S(ℓ) = ℓ . (22 − ℓ) . sen (30°)
                            2
Sabemos que o sen (30°) = 1/2

S(ℓ) = (22ℓ − ℓ²) . 1 
                  2 . 2 
S(ℓ) = (22ℓ − ℓ²) 
                  4
S(ℓ) = (-1/4) ℓ² + (11/2) ℓ

A partir de agora, entramos no problema clássico de maximizar (ou minimizar) uma função do segundo grau.  Note que S(ℓ) é uma parábola com concavidade voltada para baixo (formato de ∩), isto porque seu coeficiente a = (-1/4) é negativo.  Sendo assim, a parábola terá seu ponto de altura máxima exatamente no seu vértice.

As fórmulas das coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv) são:

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a  onde   Δ = b² - 4ac

Nesta questão, nos interessa encontrar apenas o Yv, pois o requisito do enunciado é: "o valor da área máxima desses possíveis triângulos".

Os coeficientes de S(ℓ) são:

a = -1/4 
b =  11/2
c = 0

Δ = (11/2)² - 4 . (-1/4) . (0)
Δ = 121/4
Δ = 30,25

S(ℓ) máx = Yv = -Δ/4a 

- (30,25)
 4 (-1/4 )

- (30,25)
    -1

30,25 cm²

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.