(ENEM 2022) Uma loja comercializa cinco modelos de
caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato
de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V
têm as especificações de suas dimensões dadas em
relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P
e área da base é Ab
, como segue:
• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da
área da base do modelo I;
• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do
raio da base do modelo I;
• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da
área da base do modelo I;
• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do
raio da base do modelo I.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo
de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade
volumétrica.
O modelo escolhido deve ser o
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Solução: questão de matemática do ENEM 2022, prova aplicada no dia 20/11/2022.
Nesta questão de geometria espacial, vamos utilizar a fórmula do volume do cilindro:
V = (área da base) x (altura)
Sabemos que a base tem formato circular, logo sua área é calculada por meio da fórmula
área da base = π R²
Sendo R a medida do raio da base e h a medida da altura do cilindro, temos que
V = π R² h
Agora, calcular os volumes dos cinco modelos de caixas-d’água cilíndricas.
Volume do cilindro I
Profundidade é P e área da base é Ab. A profundidade da caixa d'-água neste caso é o mesmo que a altura do cilindro.
VI = Ab x P
Não foi informado no enunciado, mas é importante destacar que o cilindro 1, que possui área da base Ab, possui um raio da base o qual vamos definir como tendo medida igual a RI , de modo que
Ab = π RI 2
Volume do cilindro II
• modelo II: o dobro da profundidade (ou seja, 2P) e a metade da área da base do modelo I (ou seja, Ab/2);
VII = (Ab/2) x (2P)
VII = Ab x P
Volume do cilindro III
• modelo III: o dobro da profundidade (ou seja, 2P) e a metade do raio da base do modelo I (ou seja, RI /2);
Área da base do cilindro II = π (RI /2)²
= π RI ²/4
= (1/4) . (π RI 2)
= (1/4) . Ab
Olha que interessante, o raio da base do cilindro III é a metade do raio da base do cilindro I e, por conta disso, a área da base do cilindro III vale 1/4 da área da base do cilindro I.
Então, vamos calcular o volume do cilindro III considerando altura de 2P e área da base de (1/4)Ab
VIII = (1/4)Ab x 2P
VIII = (1/2) Ab x P
Volume do cilindro IV
• modelo IV: a metade da profundidade (ou seja, P/2) e o dobro da área da base do modelo I (ou seja, 2 Ab);
V
IV = (2 Ab) x (P/2)
VIV = Ab x P
Volume do cilindro V
• modelo V: a metade da profundidade (ou seja, P/2) e o dobro do raio da base do modelo I (ou seja, 2 RI ).
Área da base do cilindro V = π (2 RI)²
= π 4 RI ²
= 4 . (π RI 2)
= 4 . Ab
Olha que interessante, o raio da base do cilindro V é o dobro do raio da base do cilindro I e, por conta disso, a área da base do cilindro V vale 4 vezes a área da base do cilindro I.
Então, vamos calcular o volume do cilindro V considerando altura de P/2 e área da base de 4.Ab
VV = (4Ab) x (P/2)
VV = 2 (Ab x P)
Note que dos 5 modelos de caixas-d’água cilíndricas, o modelo V é o que possui o maior volume.
| Modelo | | Volume |
| I | Ab x P |
| II | Ab x P |
| III | (Ab x P)
2 |
| IV | Ab x P |
| V | 2 (Ab x P) |
Alternativa correta é a letra e).
