(UNICAMP 2023) Para qual valor de a o sistema de equações lineares

admite infinitas soluções? 

a) 1. b) 2. c) −1. d) −2.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

Para que o sistema admita infinitas soluções, isto quer dizer, seja um SPI (sistema possível e indeterminado), a primeira coisa que precisamos fazer é verificar para quais valores de a, o determinante da matriz dos coeficientes (D) é igual a 0.

Caso necessário, faça por aqui uma breve revisão sobre discussão de sistemas lineares.

Vamos ao cálculo do determinante:


D = - (-4+5a²) + a² = 0
4 - 5a² + a² = 0
4 - 4a² = 0
4a² = 4
a² = 1
a = ± √1
a = ± 1

Quando a assume os valores ± 1 ou o sistema será SPI ou será um SI (sistema impossível), precisamos verificar cada um individualmente, sendo assim, quando:

  • a = + 1
O sistema fica sendo
(+1)x - y = |+1|
(4 - 5(+1)²)x + (+1)y = 1

x - y = 1
-x + y = 1  (vamos multiplicar essa equação por -1)

x - y = 1
x - y = -1

Esse sistema é impossível, pois uma equação diz que (x-y) vale 1 e a outra diz que o mesmo (x-y) vale -1, isto é contraditório.  Já podemos concluir que quando a = + 1,  o sistema é um SI.

Lembre-se, o enunciado da questão quer um SPI, então, a única possibilidade que nos resta é quando a = -1, vamos confirmar isso a seguir.

  • a = -1
O sistema fica sendo
(-1)x - y = |-1|
(4 - 5(-1)²)x + (-1)y = 1

-x - y = 1
-x - y = 1

Estamos diante de um sistema linear com duas incógnitas e com duas equações idênticas, característica de um SPI (que admite infinitas soluções).   Podemos concluir assim, que quando a = -1, o sistema irá admitir infinitas soluções.

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.