(CEDERJ 2023.1) O conjunto imagem da função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 2 - x - x² , é o intervalo:
a) (-∞, 2]
b) (-2, ∞)
c) (-∞, 9/4]
d) [-1/2, ∞)
Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.1, prova aplicada no dia 27/11/2022.
A função f(x) = -x² - x + 2 é uma função do segundo grau com os coeficientes:
a = -1
b = -1
c = + 2
Seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, formato de ∩, isto porque seu coeficiente a é negativo. Isto quer dizer que a parábola tem o ponto de máximo, exatamente no seu vértice. As coordenadas (Xv, Yv) do vértice da parábola possuem as fórmulas:
Xv = -b/(2a)
Yv = - Δ /(4a) ; Δ = b² - 4ac
A imagem de f(x) é o intervalo (-∞, Yv] vamos ilustrar isso com uma parábola com concavidade voltada para baixo, não necessariamente a f(x) dessa questão.
Uma vez que já enxergamos que a imagem de f(x) é o intervalo (-∞, Yv], então só precisamos calcular Yv.
Yv = - (b² - 4ac) / (4a)
Yv = - [(-1)² - 4(-1)(+2)] / [4(-1)]
Yv = - (1 + 8) / (-4)
Yv = 9/4
Sendo assim, temos que o conjunto imagem da f(x) é o intervalo (-∞, 9/4]
Alternativa correta é a letra c).
A seguir, visualizamos um esboço do gráfico de f(x) = -x² - x + 2 e sua imagem novamente reforçada em vermelho.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.
Um forte abraço e bons estudos.
