(CEDERJ 2023.1)  O conjunto imagem da função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 2 - x - x² , é o intervalo:

a) (-∞, 2]
b) (-2, ∞)
c) (-∞, 9/4]
d) [-1/2, ∞)

Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.1,  prova aplicada no dia 27/11/2022.

Podemos notar que a função f(x) = -x² - x + 2 é uma parábola com os coeficientes:  

a = -1
b = -1
c = + 2

Ela tem sua concavidade voltada para baixo, formato de ∩, isto porque seu coeficiente a é negativo.  Isto quer dizer que a parábola tem o ponto de máximo, exatamente no seu vértice.  Relembrando, as coordenadas (Xv, Yv) do vértice da parábola possuem as fórmulas:

Xv = -b/2a
Yv = - Δ / 4a  ;  Δ = b² - 4ac

A imagem de f(x) é o intervalo (-∞, Yv]  vamos ilustrar isso com uma parábola com concavidade voltada para baixo, não necessariamente a f(x) dessa questão.



Uma vez que já enxergamos que a imagem de f(x) é o intervalo (-∞, Yv], então só precisamos calcular Yv.

Yv = - (b² - 4ac) / 4a
Yv = - [(-1)² - 4(-1)(+2)] / 4(-1)
Yv = - [1 + 8] / -4
Yv = 9/4

Sendo assim, temos que o conjunto imagem da f(x) é o intervalo (-∞, 9/4]

Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:  confira um esboço do gráfico da f(x) = -x² - x + 2 e sua imagem novamente reforçada em vermelho.


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.

Um forte abraço e bons estudos.