(EPCAR 2024) Se p é a raiz da equação irracional √(x² + 5x) = 14 − 2x, então p pode ser o lado de um triângulo cujos outros lados medem

(EPCAR 2024) Se p é a raiz da equação irracional √x² + 5x = 14 − 2x, então p pode ser o lado de um triângulo cujos outros lados medem 

a) 3,5 e 4
b) 5 e 9
c) 7 e 2,5
d) 13 e 8,5

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Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).

Uma questão interessante que aborda mais de um tema em seu enunciado, em primeiro lugar, vamos obter a raiz da equação irracional.

√x² + 5x = 14 − 2x

Vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado.

Obs:  ao final, precisamos verificar se as raízes encontradas satisfazem a equação acima.

(√x² + 5x )² = (14 − 2x)²

x² + 5x = 196 - 56 x + 4x²

3x² - 61 x + 196 = 0

Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

Seja uma equação do segundo grau  ax² + bx + c = 0  com a, b e c coeficientes reais, podemos encontrar as suas raízes por meio da fórmula:   x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

a = 3; b = -61; c = 196

Δ = (-61)² - 4(3)(196)

Δ = 3721 - 2352

Δ = 1369

√Δ = 37

x = (61 ± 37) / 6

x1 = (61 + 37) / 6 

x1 = 98/6 

x1 = 49/3

x2 = (61 - 37) / 6 

x2 = 24 / 6

x2 = 4

Agora, precisamos testar se os valores encontrados satisfazem a equação irracional dada inicialmente.

Aplicando x = 4

√x² + 5x = 14 − 2x

√4² + 5.4 = 14 − 2.4

√16 + 20 = 14 − 8

√36 = 6    (ok)

Aplicando x = 49/3

√x² + 5x = 14 − 2x

√(49/3)² + 5 . (49/3) = 14 − 2 . (49/3)

Neste teste, o valor de 49/3 não satisfaz, mesmo sem terminar os cálculos, já podemos notar que no primeiro membro da equação, temos a raiz quadrada de um número positivo, considerando o conjunto dos números reais, até aí, por enquanto, tudo bem.  O problema está no segundo membro, que vai retornar um valor negativo.  Como a raiz quadrada de um número positivo é um número positivo (saiba mais aqui), então o valor de x = 49/3 não é raiz da equação irracional.

Chegamos à conclusão de que a raiz p da equação irracional vale 4.

Agora, vem a parte da geometria plana, onde precisamos verificar se 4 pode formar triângulo com as outras duas medidas de cada alternativa de resposta.  Caso necessário, revise nesta questão a condição de existência de triângulos.  A única alternativa correta é a letra a) 3,5 e 4

Com as medidas 4 ; 3,5 ; 4 podemos formar um triângulo, pois

4 + 3,5 > 4  (verdade)

4 + 4 > 3,5 (verdade)

4 + 3,5 > 4  (verdade)

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.