(ENEM 2023) Um artista plástico esculpe uma escultura a partir
de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente,
esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da
base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um
cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo,
assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo
um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o
mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura
tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração
cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura
tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
A) 1 198,8
B) 1 296,0
C) 1 360,8
D) 4 665,6
E) 4 860,0
Solução: questão de matemática do ENEM 2023, prova aplicada no dia 12/11/2023.
Nessa questão de geometria espacial, em primeiro lugar, podemos notar que o artista plástico cortou o cone reto paralelo à base, deste modo, ele criou um cone menor semelhante ao cone maior.
Em cones semelhantes, temos que
R/r = H/h = razão de semelhança
Sendo
R e r, respectivamente, raio do cone maior e raio do cone menor.
H e h, respectivamente, altura do cone maior e altura do cone menor.
Você pode observar isso pela figura a seguir, por meio da semelhança de triângulos.
Os triângulos ABE e CDE são semelhantes, deste modo, temos que
AB / CD = AE / CE
Note que essas medidas são
R/r = H/h
A única medida que não temos é h, vamos obtê-la por meio do conhecimento das demais.
9 / 3 = 36 / h
3 h = 36
h = 36/3
h = 12 cm
Agora, precisamos calcular o volume do tronco de cone, vamos fazer isso calculando a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor.
(1/3)πR² H - (1/3)π r² h
(1/3).3.(9)²(36) - (1/3).3.(3)²(12)
9².3.12 - 9. 12
9.12(9.3 - 1)
108(27-1)
108(26)
2808 cm³
Esse é o volume do tronco de cone, no próximo passo, o artista plástico vai retirar dele um cilindro reto, cujo raio da base mede (6/2) = 3 cm e possui altura de (36 - 12) = 24 cm. Vamos calcular o volume desse cilindro.
V = π x (raio)² x altura
V = 3 x (3)² x 24
V = 648 cm³
Agora, para obtermos o volume da escultura, vamos calcular:
(volume do tronco de cone) - (volume do cilindro)
2808 - 648
2160 cm³
Do enunciado: "O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume."
Finalmente, para obter a massa, em grama, dessa escultura, temos que multiplicar:
2160 x 0,6 = 1 296,0
Alternativa correta é a letra b).
